May 9, 2001




CRYSTALINE ATOMIC STRUCTURES

          Introduction:

         The physical structure of solid materials of engineering importance depends on the arrangements of the atom, ions or the molecules, which make up the solid and the bonding forces between them. If the atoms or the ions of a solid are arranged in a pattern that repeat itself in three dimensions, they form a solid which is a crystal structure and is referred to as a crystalline solid or crystalline material. Some examples to crystalline materials are metals, alloys and some ceramic materials. 
         Atomic arrangements in crystalline solids can de described by referring the atoms to the points of intersection of a network of lines in three dimensions. Such a network is called a “space lattice”. It can also be described as an infinite three-dimensional array of points. Each point in the space lattice has identical surroundings. In an ideal crystal the grouping of lattice points about any given point are identical with the grouping about any other lattice point in the crystal lattice. Each space lattice can be described by specifying the atom positions in a repeating unit cell. The size and shape of a unit cell can be described by three lattice vectors a, b and c. The axial lengths a, b and c and the interaxial angles ,  and  are lattice constants of the unit cell.
         Crystal System And Bravais Lattices:   
         By assigning specific values for axial lengths and interaxial angles, unit cells of different types can be constructed. Crystallographers have shown that only seven different types of unit cells are necessary to create all point lattices. Many of the seven crystal systems have variations of basic unit cell. A. J. Bravais (who is a French crystallographer and derived 14 arrangements of points in space) showed that fourteen standard unit cells could describe all possible lattice networks. And also there are four basic types of unit cells: SIMPLE, BODY CENTERED, FACE CENTERED and BASE CENTERED. In the cubic system there are three types of unit cells: simple, body centered, face centered. In orthorhombic system we can see all four types. In tetragonal system there are only two: simple and body centered. The monoclinic system has simple and base centered unit cells and the rhombohedral, hexagonal and triclinic systems have only one simple type of unit cell. All are shown in the table-1.   
CRYSTAL
SYSTEM   AXIAL LENGHTS AND
INTERAXIAL ANGLES   SPACE LATTICE

Cubic   Three Equal Axes At Right
Angles
a = b = c and  =  =  = 90   Simple Cubic
Body Centered Cubic
Face Centered Cubic

Tetragonal   Three Axes At Right
Angles, Two Equal
a = b  c and  =  =  = 90   Simple Tetragonal

Body Centered Tetragonal

Orthorhombic   Three Unequal Axes At
Right Angles

a  b  c and  =  =  = 90   Simple Orthorhombic
Body Centered Orthorhombic
Base Centered Orthorhombic
Face Centered Orthorhombic

Rhombohedral   Three Equal Axes, Equally
Inclined
a = b = c and  =  =   90   
Simple Rhombohedral

Hexagonal   Two Equal Axes At 120,
Third Axes At Right Angles
a = b  c and  =  = 90 and
 = 120   
Simple Hexagonal

Monoclinic   Three Unequal Axes, One
Pair Not At Right Angles
a  b  c and    =  = 90   Simple Monoclinic

Base Centered Monoclinic

Triclinic   Three Unequal Axes,
Unequally Inclined And
None At Right Angles
a  b  c and       90   

Simple Triclinic
Table-1: Classification Of Space Lattices By Crystal System
   
         Principal Metallic Crystal Structures:
         Most elemental metals (nearly 90%) crystallize upon solidification into three densely packed crystal structures. Body centered cubic, face centered cubic, hexagonal close packed. Most metals crystallize in these dense packed structures. Because energy is released as the atoms come closer together and bond very tightly with each other. Thus the densely packed structure are in lower and more stable energy arrangements. In my research I examined in detail the arrangement of the atoms in three principal crystal structure unit cells.
         Body Centered Cubic (BCC) Crystal Structure:



         In this unit cell the solid spheres represent the centers where atoms are located and clearly indicate their relative positions. If we represent the atoms in this cell as hard spheres, then the unit cell appears as shown in the following figure 2-b. In this unit cell we see that the central atom is surrounded by eight nearest neighbors and is said to have a coordination number of eight. If we isolate a single hard-sphere unit cell, we obtain a model, which is shown on the figure 2-c.Each of these cells has the equivalent of 2 atoms per unit cell. One complete atom is located at the center of the unit cell, and an eighth of a sphere is located at each corner of the cell, making the equivalent of another atom. Thus there is a total of 1(at the center) + 8 * 1/8 (at the corners) = 2 atoms per unit cell. And also the atoms in the BCC unit cell contact each other across a cubic diagonal, so that the relationship between the length of the cube side a and the atomic radius R is
                                                                  _
√3 a = 4R

Figure 2: BCC Unit Cells.





If the atoms in BCC unit cell are considered to be spherical, an atomic packing factor (AFP) can be calculated by using the following equation:
Atomic packing factor (AFP) = Volume of atoms in unit cell / Volume of unit cell
Using this equation, the APF for the BCC unit cell is calculated to be 68 %. That is atoms occupy 68 percent of the volume of the BCC unit cell and remaining 32 percent is the empty space. Also the BCC crystal structure is not a close-packed structure since the atoms could be packed closer together. Metals such as iron, tantalum, tungsten, sodium, potassium and chromium have the BCC crystal structure at room temperature. The following table (2-1) shows the lattice constant and the atomic radius of the metals given below.
Table 2-1.

METAL   LATICE CONSTANT   ATOMIC RADIUS
IRON   0.287   0.124
TANTALUM   0.330   0.143
TUNGSTEN   0.316   0.137
SODIUM   0.429   0.186
POTASSIUM   0.533   0.231
CHROMIUM   0.289   0.125

         Face Centered Cubic (FCC) Crystal Structure:



In this unit cell there is one lattice point at each corner of the cube and one at the center of each cube face. The hard sphere model of figure 3-b indicates that the atoms in the FCC crystal structure are packed as close together as possible. The APF for this close packed structure is 0.74 as compared to 0.68 for the BCC structure, which is not close- packed. And the FCC unit cell, which is shown on the figure 3-c, has the equivalent of four atoms per unit cell. The eight corner octants account for one atom (8 * 1/8 = 1), and six-half atoms on the cube faces contribute another three atoms, making a total of four atoms per unit cell. The atoms in FCC unit cell contact each other across the cubic face diagonal, so that the relationship between the length of the cube side a and the atomic radius R is
                                                                  _
√2 a = 4R
Figure 3. FCC unit cells






The APF for the FCC crystal structure is 0.74, which is greater than the 0.68 factor for the BCC structure. The APF of 0.74 is for the closest packing possible of spherical atoms. Many metals such as aluminum, copper, lead, nickel, and iron at increased temperatures (912 to 1394˚C) crystallize with the FCC crystal structure. And the following table (4-1) shows lattice constants and the atomic radii of some selected FCC metals.


Table 3-1.

METAL   LATTICE CONSTANT   ATOMIC RADIUS
ALUMINIUM   0.405   0.143
COPPER   0.3615   0.128
GOLD   0.408   0.144
LEAD   0.495   0.175
NICKEL   0.352   0.125
PLATINIUM   0.393   0.139


         Hexagonal Close Packed (HCP) Crystal Structure:



Third common metallic structure is the HCP structure. Metals don’t crystallize into the simple hexagonal crystal structure, because AFP is too low. The atoms can attain a lower energy and a more stable condition by forming the HCP structure. The AFP of the HCP crystal structure is 0.74, the same as that for the FCC crystal structure since in both structures the atoms are packed as tightly as possible. In both the HCP and FCC crystal structures each atom is surrounded by 12 other atoms, and thus both structures have a coordination number of 12. The isolated HCP unit cell has the equivalent of 6 atoms per unit cell. Three atoms form a triangle in the middle layer, as indicated by the atomic sites in the figure 4-a. There are six 1/6-atom sections on the both top and the bottom layers, making an equivalent of two or more atoms (2 * 6 * 1/6 = 2). Finally, there is one half an  atom in the center of both the top and the bottom layers, making the equivalent of one more atom. The total number of atoms in the HCP crystal structure unit cell is thus
3 +2 + 1 = 6. The ratio of the height ‘c’ of the hexagonal prism of the HCP crystal structure to its basal side ‘a’ is called the c/a ratio. The c/a ratio for an ideal HCP crystal structure consisting of uniform spheres packed as tightly together as possible is 1.633. The table 4-1 shows some important HCP metals and their c/a ratios. All of them are very closer to the ideal form of HCP structure.

Figure 4. HCP unit cells






















Table 4-1.


METAL   LATTICE CONSTANTS
a                   c   
ATOMIC RADIUS   
c/a RATIO   %
DEVIATION
CADMIUM   0.297      0.561   0.149   1.890   +15.7
ZINC   0.266      0.494   0.133   1.856   +13.6
IDEAL HCP         1.633   0
MAGNESSIUM   0.328      0.520      0.160   1.623   -0.66
COBALT   0.253      0.406     0.125   1.623   -0.66
ZIRCONIUM   0.323      0.358      0.160   1.593   -2.45
 
 
         Conclusion: All the elements are composed of molecules and all molecules are composed of the atoms. It is explict that the base stone off all things is the atoms. All the three crystalline structure FCC, BCC, and HCP are the most common crystalline structures that we can face in the nature. The combination of these crystalline structures produces the elements. The structures can both combine with the same kind as they are and also another kind of a crystalline structure for producing these elements. The difference between these structures is the cause of their interaxial angles and the axial lengths and also the places of the atoms in the structure. So there are 14 kinds of atomic crystalline structures in the nature. But 3 of them are most common ones.   


 
   

29 Kasım 2002
 
       FİZİK ESASLAR 
Coulomb Kanunu (cgs-emb)
Manyetik kuvvet, şekil olarak Newton kanununa çok benzeyen Coulomb  Kanunu yardımı ile tanımlanır. 
cgs elektromanyetik birim sisteminde (cgs-emb) bağıntıda kullanılan simgelerin anlamı şöyledir:
P1 ve P2  : manyetik kutupların büyüklüğü (şiddeti)
r  : kutuplar arasındaki uzaklık (cm)
r1  : yönü P1’den P2’ye doğru olan birim vektör.
                             (P1 kutbu etki eden, P2 kutbu etkilenen kutup     olarak düşünülmüştür)
F  : P2 kutbu üstüne etki eden manyetik kuvvet      (büyüklüğü “din” olarak)
→
 
→
 
                       : Manyetik kutupların içinde bulunduğu ortamın manyetik             geçirgenliği (permeabilitesi). Havanın manyetik geçirgenliği
                    = 1.0000004  1.0 
 
Coulomb kanununun kullanılışı ile ilgili bazı özellikler :
P1 ve P2 kutuplarının büyüklüğü (şiddeti) 1 emb ve kutuplar arasındaki uzaklık r=1 cm ise oluşacak F kuvvetinin büyüklüğü “1 din” dir.[Not: 1 din’lik bir kuvvet; 1 gr’lık bir kütleye 1 cm/s2’lik ivme kazandırabilen kuvvetin büyüklüğüdür].
Kutuplar benzer işaretli ise F kuvveti itici bir kuvvete (bu durumda F kuvvetinin işareti pozitif olur), kutuplar zıt işaretli ise F kuvveti çekici kuvvete (bu durumda F kuvvetinin işareti negatif olur) karşı gelir.
Çok önceleri yapılan kabule göre; bir kutup yerin kuzey manyetik kutbu tarafından çekiliyorsa “+” işaretli, itiliyorsa “-” işaretlidir. 
NOT: Manyetik kutuplar doğada hiç bir zaman yalnız başlarına bulunmazlar, muhakkak suretle, biri negatif diğeri pozitif işaretli iki kutup bir mıknatıs oluşturacak biçimde bir araya gelirler. Bu bakımdan Coulomb kanunu manyetik kutuplar halinde şöyle bir kabul yapılmış olur.
İki adet çok uzun çubuk mıknatısın birer kutbunu, mıknatısların boyuna göre çok kısa olan bir uzaklıkta karşı karşıya getirelim. Bu durumda, birbirine yakın kutuplar arasındaki etki Coulomb kanunun ile ifade edilebilir. Mıknatısların diğer kutuplarının gözönüne alınan kutuplar üzerindeki etkisi böylece ihmal edilmiş olmaktadır.
→
 
1.2 MANYETİK ALAN ŞİDDETİ (cgs-emb)
         Uygulamada bir kutbun kendisinden uzak bir noktada oluşturduğu manyetik çekme veya manyetik itme kuvveti yerine, kutbun sözü edilen noktada oluşturduğu manyetik alanın şiddetini kullanmak daha uygun olmaktadır. Uygulamada alan şiddetini hesapladığımız noktada aletimiz vardır ve aletler alanın şiddetini ölçecek biçimde düzenlenmiştir.
         Bir kutbun bir noktada oluşturduğu manyetik alanın şiddeti, o kutbun göz önünen alınan noktada bulunduğu varsayılan “+1” şiddetindeki bir kutba uyguladığı çekme veya itme kuvvetinin büyüklüğü olarak tanımlanır. Manyetik alan vektörünün H ile gösterirsek;
 
olur. Bu bağıntıya göre en genel halde P1 şiddetindeki bir kutbun, P2 şiddetindeki diğer kutbun bulunduğu noktada doğuracağı manyetik alanın şiddeti;
 
 
                                                       bağıntısı ile ifade edilebilir.
 
emb (cgs) birimler sisteminde alan şiddeti birimi din/birim kutup = Oersted dir. Hal böyle olmakla birlikte Oersted (kısa yazılışı Oe) gerek yermanyetik alanı ile ilgili ölçmeler için ve gerek manyetik prospeksiyon ölçmeleri için genel olarak büyük bir alan şiddetini tanımlar. Bu nedenle uygulamada manyetik alan şiddeti birimi olarak Gamma () kullanılır. Uzun yıllar önce araştırmacılar yaptıkları bir kabulle 1.0 Oe şiddetindeki bir manyetik alanın 105 ’ya eşit olduğunu kabul etmişlerdir. Bu duruma göre yeryüzünde bir noktada 0.497 Oe’lik bir alan ölçülmüşse, aynı alan  cinsinde 49700  olarak ifade edilir.
         Manyetik alan şiddeti cgs-emb sisteminde, hepsi birbirine eşit olan aşağıdaki birimlerle ifade edilebilir:
 
  Din / birim kutup,
  Oersted,
  1 cm2’ lik yüzeyden geçen kuvvet çizgisi sayısı,
  cm2 başına Maxwell (Maxwell, cgs-emb sisteminde manyetik akı birimidir).
 
MANYETİK MOMENT (cgs-emb)
“+P” ve “-P” şiddetinde kutuplara sahip ve kutupları arasındaki uzaklık “2L” olan bir çubuk mıknatısın (Şekil 1) manyetik momenti
bağıntısı ile verilir. “r1” birim vektör olup yönü “-P” kutbundan “+P” kutbuna  doğrudur. Anlaşılacağı gibi cgs-emb sisteminde manyetik momentin  birimi “kutupşiddeti x cm” veya “kutup - cm” dir.
Şekil 1. Büyüklüğü M=(2L).P olarak tanımlanan  manyetik momentin yönü “-P” kutbundan  “+P kutbuna doğrudur.
Mıknatıslanabilme özelliği olan her cismin, eşit büyüklükte, biri pozitif diğeri negatif iki kutbu olduğundan, manyetik moment gözönüne alınan cismin manyetik özelliklerini yansıtan bir temel fiziksel büyüklüktür. Dikkat edilirse, aynı manyetik moment değerine sahip mıknatıslar birbirinden çok farklı uzunluklara sahip olabilirler.
 
MANYETİK ALAN ŞİDDETİ VE MANYETİK MOMENT İÇİN “SI” BİRİMLERİ 
   Avrupa Arama Jeofizikçileri Birliği, Birimler ve Deyimler Komitesi (the Committee on Units and Nomenclature of the European Association of Exploration Geophysicists (EAEG)), kısaca SI (mksa) (systeme international) adı verilen uluslararası birim sisteminin kullanılmasını önerdi (1967), ancak; yeni birimler sistemi 1974’den sonra kullanılmaya başlandı. SI (mksa) veya kısaca SI birimler sisteminde temel fiziksel büyüklükler “metre-kilogram-saniye-amper” dir.
   Fizik bilgilerimize göre, bir iletkenden geçen elektrik akımı (Şekil 2) onu saran ortamda bir manyetik alan oluşturmaktadır. Bu manyetik alanın şiddeti, amper kanunu veya bazen Biot-Savart kanunu adı verilen bir bağıntı ile ifade edilmektedir.
 
         Bağıntı kullanılırken “L” ve “r” metre olarak, i (akım şiddeti) amper olarak alınacaktır. Bağıntıya dikkat edilirse H alanı iletkenin L uzunluktaki kısmından akan akımın bir sonucudur. Eğer “L” uzunlukta bir iletkenden geçen “i” şiddetteki akımın bir “A” noktasında oluşturduğu manyetik alanın (H) şiddeti hesaplanacaksa yukarıdaki ifadenin L ye göre entegrali alınacak demektir. Oluşacak H alanının SI sistemindeki fiziksel boyutu “amper / metre” dir. Bu şiddetteki bir manyetik alan, cgs-emb’de 410-3 Oersted şiddetindeki alana karşılık gelmektedir (1.0 a/m = 410-3 Oe = 0.0126 Oe veya 1.0 Oe = 79.6 a/m).
Şekil 2. “I” şiddetinde elektrik akımı taşıyan bir
               iletkenin “L” uzunluğundaki bir parçasının,
               kendisinden r uzaklıkta oluşturduğu manyetik   
               alan (H).
 
         Birim sistemlerinde birim şiddetteki manyetik alan, bir birimlik kutba bir birimlik kuvvet uygulayan alanın büyüklüğü olarak tanımlanır. SI sisteminde kutup şiddeti birimi “Amper/metre”, kuvvet birimi “Newton”, alan şiddeti birimi “Tesla (T)” dır.
         Bu tanımlara göre; bir “Tesla”, bir amper/metre büyüklüğündeki kutba, bir newton’luk kuvvet uygulayabilen manyetik alanın büyüklüğüdür. Tesla’nın alt birimi “nanoTesla (nT)” olup, 1 nT = 10-9 T’dir.
         Bir Tesla şiddetindeki alan, cgs-emb sisteminde 104 Gauss şiddetindeki alana eşittir. Bildiğimiz gibi, Gauss’un alt birimi “” olup, 1 Gauss = 105  olduğundan
                            1 T = 104 G = 109 
                            10-9 T = 1 nT = 1 
buluruz.
         Şimdi SI sisteminde manyetik momentin nasıl tanımlandığını açıklamaya çalışalım. Eğer iletken bir tel, bir düzlem üzerine bir çember oluşturacak biçimde serilmişse, çemberden geçen “i” akımının oluşturduğu alan, çemberin merkezine, manyetik momenti çember düzlemine dik olacak biçimde yerleştirilen bir dipolün oluşturduğu manyetik alana benzer. Bu durumda, SI sisteminde dipol momentinin fiziksel boyutu “Amper-metre2” dir. SI sistemindeki bir amper-metre2’lik dipol momenti cgs-emb sisteminde “1010 kutup-cm” lik dipol momentine eşittir.
 
 
 
 
MANYETİK AKI 
         Bir madde manyetik alan içine konduğunda (Şekil 3), manyetik alan kuvvet çizgileri madde içinden de geçer. Bu işlem uygulamada madde içinde “manyetik akı oluşturuldu” şeklinde ifade edilir.
Şekil 3. Aynı geometrik şekle, farklı manyetik özelliklere sahip maddelerin
             aynı bir manyetik alanın kuvvet çizgilerinde neden olduğu lokal değişimler. 
         Manyetik akı “”simgesi ile gösterilir. Manyetik alan kuvvet çizgilerinin maddeden çıktığı yerde, kütlenin manyetik alan kuvve çizgilerine dik doğrultudaki kesiti “A” ise, manyetik akı yoğunluğu (B)
                                                      bağıntısı ile verilir.
 
“cgs-emb” Sisteminde manyetik akı birimi “maxwell” (Mx), SI (mksa) birimleri sisteminde manyetik akı birimi “Weber” (Wb) olup “1 Weber = 108 Maxwell”      [1 Wb = 108 Mx] dir.
 
MANYETİK GEÇİRGENLİK (MANYETİK PERMEABİLİTE) 
         cgs-emb sisteminde manyetik geçirgenlik şöyle tanımlanabilir: manyetik alan içine konulan bir maddenin içinde manyetik alan doğrultusuna dik 1 cm2’lik yüzeyden geçen kuvvet çizgileri sayısının havada 1cm2 lik yüzeyden geçen kuvvet çizgileri sayısına oranı. Manyetik geçirgenlik “” simgesi ile gösterildiğinden, yukarıdaki tanıma göre;
 
yazılabilir. Burada “A”, maddenin manyetik alana dik doğrultudaki kesiti, H ise dış alanın şiddetidir (yani; hava içinde manyetik alan doğrultusuna dik 1 cm2’lik yüzeyden geçen manyetik alan kuvvet çizgilerinin sayısı). Mıknatıslanabilen bir madde içinden geçen manyetik kuvvet çizgilerine, havaya göre daha az direnç gösterir: m>1 ise madde paramanyetik, m>>1 ise madde ferromanyetik veya ferrimanyetiktir.
 
         Yukarıdaki eşitlik B=H şeklinde de yazılabilir; yani bir manyetik alan (H) içinde bulunan maddenin manyetik akı yoğunluğu (B=/A), maddenin manyetik geçirgenliği ile dış alanın şiddetinin çarpımına eşittir. İleride görüleceği gibi bir maddenin manyetik geçirgenliği dış alanın şiddetine bağlı olarak değişir. cgs-emb Sisteminde manyetik geçirgenliğin boyutu “Gauss/Oersted” dir. Boşluğun manyetik geçirgenliği (o)
                           o = 4p10-7 Weber / Amper-metre
                                = 12.57 -7 Weber / Amper-metre
                      = 12.57 7 Henry / metre
                    = 1Gauss / Oersted.
 
Dış alanın şiddeti, o maddeye ait belirli bir alan şiddetine doğru arttırıldıkça, endüksiyon mıknatıslanmasının şiddeti de artar. Dış alan, maddenin içinde var olduğunu düşünebileceğimiz, yönlenme bakımından farklı direnme gücüne sahip dipollerin kendi yönünde dizilmelerini sağlar. Mıknatıslanma şiddeti (bazen manyetik polarizasyon şiddeti olarak da adlandırılır) J vektötü ile gösterilir. J vektörünün büyüklüğü, cismin birim hacmi başına düşen manyetik momentinin büyüklüğüne eşittir. Öyleyse
 
yazabiliriz. J vektörünün yönü ve büyüklüğü madde içinde her noktada aynı ise, madde “Üniform olarak mıknatıslanmıştır” denir.
                  MIKNATISLANMA ŞİDDETİ
         Mıknatıslanma özelliği olan bir madde bir dış alan içine konduğunda “endüksiyon mıknatıslanması (etki ile mıknatıslanma) adı verilen bir mıknatıslık kazanır. İndüksiyon mıknatıslığının yönü dış alanın yönü ile aynıdır.
 
     Doğada mıknatıslanma özelliği olan kütlelerin (kayaçların) teorik anlamda, üniform mıknatıslığından söz etmek çok güçtür. Genellikle bir kayaç kütlesi içinde değişik yörelerde J vektörünün şiddeti değişir; değişiklik daha küçük oranlarda da olsa J vektörünün yönünde de görülür. Hal böyle olmakla birlikte;
Yeraltında ve yeryüzünde bulunan bir kayaç kütlesinin  çeşitli kısımlarında        J vektörünün yön ve şiddetindeki değişimleri bilmediğimizden ve,
J vektörünün değişimlerinin bilinmesi halinde dahi, hesaplamalar çok karmaşık ve uygulanması güç olduğundan
bazı hataların yapılmış olacağı önceden kabul edilerek kayaç kütlesinin üniform mıknatıslandığı kabul edilir.
“” yoğunluklu, mıknatıslanabilen bir maddenin birim kütlesi başına düşen mıknatıslanma şiddetine “spesifik mıknatıslanma şiddeti” denir. Spesifik mıknatıslanma şiddeti J ile gösterilirse, mıknatıslanma şiddeti ile spesifik mıknatıslanma şiddeti arasında aşağıda verilen ilişki vardır:
 
         Görüldüğü gibi ileride geliştireceğimiz bağıntılarda ve bu bağıntıları kullanarak yapacağımız hesaplamalarda, mıknatıslanma veya spesifik mıknatıslanma şiddetlerinden hangisinin kullanıldığı önemli değildir; sonuçlar bir sabit sayı kadar (1/) farklı olacaktır. Mamafih jeofizik prospeksiyonda genellikle mıknatıslanma şiddeti (J) kullanılır.
         SI sisteminde manyetik moment birimi “amper-metre2” olduğundan J’nin birimi
olur. cgs-emb Sisteminde manyetik moment birimi “kutup-santimetre” olduğundan J’nin birimi
 
bulunur. Önceleri değindiğimiz gibi SI sisteminde “1 amper-metre2” lik dipol momenti cgs-emb sisteminde “1010 kutup-santimetre” lik dipol momentine eşit olduğuna göre
bulunur.
 
MANYETİK DUYARLIK (SUSEPTİBİLİTE) 
         Manyetik duyarlık “k” simgesi ile gösterilir ve maddenin, bir dış alan içinde mıknatıslanma kazanabilme yeteneğinin bir ölçüsüdür. Bir kütlenin birim hacmi içinde bulunan dipoller, şiddeti yavaş yavaş arttırılan dış alan yönüne ne kadar çok sayıda ve çabuk yönelebilirse kütlenin manyetik duyarlığı o ölçüde büyük olur. Manyetik duyarlık, H ve J sırası ile dış alanın ve mıknatıslanmanın şiddetini göstermek üzere;
 
bağıntısı ile tanımlanır; gerek SI ve gerek cgs-emb sisteminde boyutsuz bir büyüklüktür. Bir maddenin SI birimler sisteminde belirlenen manyetik duyarlığı “k”, cgs-emb sisteminde belirlenen manyetik duyarlığı “k¢” ise bu iki skaler büyüklük arasında
 
 
 
ilişkisi vardır. 
Manyetik duyarlık, manyetik prospeksiyon yönteminde yer içinde yanal ve düşey doğrultuda değişimini araştırdığımız temel fiziksel parametredir. Yeraltında bulunan ve farklı büyüklükte manyetik duyarlığa sahip kütleler yeryüzünde ölçtüğümüz manyetik anomalilere neden olurlar.
 
 
 
 
         Bu anomalilerin nedeni, kütlelerin sahip olduğu kalıcı mıknatıslanma ile kütlelerin yermanyetik alanı içinde bulunmaları nedeniyle kazandıkları endüksiyon mıknatıslanmasıdır. Endüksiyon mıknatıslanmasının şiddeti (Jend)
bağıntısından bulunur. Ancak Şekil 4 de verilen manyetik histerizisin incelenmesinden anlaşılacağı gibi, aynı bir madde için uygulanan alan şiddeti değiştikçe farklı mıknatıslanma şiddetleri ölçüleceğinden farklı manyetik duyarlık değerleri elde edilecektir. Manyetik prospeksiyon açısından bakıldığında bu manyetik duyarlık değerleri arasında “H” alanının çok küçük değerlerine karşı gelen duyarlık değeri önemlidir. Yer manyetik alanının ortalama şiddeti 0.5 Oe olduğundan ve yeraltında bulunan kütleler böyle zayıf bir dış alan içinde endüksiyon mıknatıslanmalarını kazandıklarından bizim kullanacağımız duyarlık değeri manyetik histerizis eğrisinin 1.0 Oe gibi düşük değerlerine karşı gelen kısmından  hesaplanmalıdır.
 
 
Şekil 4. Kalıcı mıknatıslık kazanabilen ferromanyetik ve ferrimanyetik maddelere özgü histerizis  eğrisi. Jeofizik çalışmaları için maddenin yermanyetik alanına yakın şiddetteki dış alanda  sahip olduğu manyetik duyarlık önemlidir.
 
Çizelge 1’de uygulamada sık karşılaşılan bazı kayaçların SI sistemine göre belirlenmiş manyetik duyarlıkları verilmiştir. Manyetik duyarlığın cgs-emb sistemindeki karşılığını bulmak için çizelgedeki değerler 4 (=12.56)’ya bölünmelidir.
Çizelge 1’de verilen “ortalama değerlerin” karşılaştırılmasından anlaşılacağı gibi en düşük manyetik duyarlığa sahip kayaçlar sedimanter kayaçlar olup onları büyüklük sırasına göre metamorfik kayaçlar, asidik ve bazik bileşimli mağmatik kayaçlar izlemektedir. Dolayısıyla söz konusu kayaçlar yer manyetik alanı içinde endüksiyonla mıknatıslık kazandıklarında (Jend=kH) yeryüzünde oluşacak en şiddetli manyetik anomaliler bazik mağmatik kayaçlara ait olacaktır.

INTRODUCTION :
When the constant forces that have different magnitudes are applied to an object, the object gains different accelerations. In each cases, the rate of force to the acceleration is constant and this constant is called an inertia mass of the object.
 Force (F) is an action exerted by one body on an  another ,that tends to change the state of motion of the body acted upon and force has magnitude and direction .Unit of force is newton.
Acceleration (a);in threating motion in which the velocity is changing ,it is convient to introduce a newton acceleration .accele ration is the rate of change of velocity .Its unit is m/sn2.
Mass is the quantity of matter in the body . ıt has only magnitude and  its unit is kg.

THEORY :
Consider a body  on which no net force acts .If the body at rest  , it will remain at rest .If the body is moving with a constant acceleration , it vill continue to do so.We wish to be able to predict the motion of any body subjected to aknown system of forces.We have learned  how to determine the resultant of a system of forces , and we know that the acceleration of the body is zero if the force resultant is zero .But what happens when the resultant is not zero? The answer to this question was formulated in the seventeenth century by Isaac Newton as the second of his three laws of motion.
 
this equation is astatement (in restiricted form) of newtons second law of motion .The acceleration of abody is directly proportional to yhe resultant force acting upon it and inversely proportional  to the mass of the body .
 
 
 
In the metric system we have defined the fundemental units of mass (the  kilogram) , length (the meter) , and time (the second).In order to write newton’s second law law in the form
 
we define anew unit of force called newton. One newton isthat force which produce s an acceleration of one meter per second in a mass of one kilogram
The newton is equavelent to (kg.m/sec2)the  weight of one kilogram at sea level and 45˚north latitude is 9,80665newtons.

APPLICATION OF NEWTON’S SECOND LAW :
QUESTION :A particalof mass 2 kg moves in a force field depending on time (t) given by
 
assume that t=0 the partical is located at     
Determination of the velocity and the acceleration and the position at t=5 sec.Find the magnitudes and direction of r , v , a  .

In problem involving newtons second la3w, the first question which we must ask ourselves  is :to what body do we wish to apply    . Only you do is follow this process;
   Draw a simple body diagram
   Isolate the object whose motion is analyzed
   Established convienet coordinate axes for each object and find the compenents of the forces along the tose axesApply the newton’s second law ,   in the compenent form
   Solve the compenet equation for the unknows.Remember that you must have as many independent equation as you have unknows in order to complete the solution
   Check the predictions of your result so you can detect error by doing so.
DATA OF THE QUESTION
 
 
 
 
m =2 kg
 
           
 
___________________________________________________________
                 
                               
For finding ‘c’ we must know velocity at certain time , and it is given in the question ;at t=0      .When we puts t=0 in
  equation we find ‘c’
  and than V become like this;
 
_____________________________________________________________
             
                         
For finding ‘c’ we must know location at certain time , and it is given in the question ;at
t=0      When we puts t=0 in 
                             
                                and r is equal to
                               

In the question tis given equal to 5 ,so we put to t=5 in the equation;
 

a2 = 3002 + 82 2+(-30) 2

a=312 m/sec2

 

V2=5002 + 1852 + (-75) 2
V=538 m/sec

 

r 2= 658 2+3492 +(-111) 2
r=753 m
CONCLUSION :
Newtons second law can be applied to a systemof the bodeis  as well as to individ,ual bodies .For example , it applies equally to sysyem  compesed of an elevator ,sevral people and their luggage as to any one individual elevator .
For solving problem which solve by using newton’s second law  you draw a body diagram  and isolate the body and by usind F=ma equation indivually you can easily solve the problem.also we must be care of the force .If it is constant we can directly put values in the ,F=ma .,if not wemust use integration like me .

CAMPTON’UN SAÇILMA DENEYİ


Siyah cisim ışıma yasasından sonra, ışığın parçacık özellikleri taşıdığının fotoelektrik deneyleri ile desteklenmesi, bir fotonun momentumunun ne olduğu sorusunu gündeme getirdi. Işığın sürati bütün eylemsiz gözlem çerçevelerinde c=3.108 m/s olduğundan
 
şeklindeki momentum ve enerji bağıntılarını gözönüne alarak bu soruya cevap bulunabilir. Burada m0 durgun kütle ve  Lorentz çarpanıdır. Hızın
 
tanımı ile fotonlar için v=c olduğunu burada kullanırsak, fotonların durgun kütlesinin m0=0 olduğu bulunur. m0=0 halinde göreli enerji bağıntısı fotonlar için E=p.c bağıntısını verir. Frekansı υ olan bir fotonun enerjisinin h.υ olduğunu hatırlarsak fotonun momentumunu aşağıdaki değişik şekillerde yazabiliriz:
 

Vektörel olarak, k dalga vektörü cinsinden  yazılabilir.

Fotonların, kütleli parçacıklar gibi momentum taşıdığının en doğrudan ve inandırıcı kanıtı, kısa dalgaboylu dalgalarının (örneğin X-ışınlarının elektronlardan esnek saçılması deneyleri ile gösterildi. Buna, 1922’de bu deneyi gerçekleştiren A.H. Compton’un adıyla Compton olayı denir. Şekilde gösterilen bir Compton deneyinde ilk dalgaboyu λ olan bir foton başlangıçta durgun olan bir elektrondan saçılır. Bunu bilardo toplarının çarpışması gibi düşünülerek enerji ve momentum korunumunu
 
şeklinde yazabiliriz.
 
Buradan  ve  sırası ile gelen fotonun, saçılan fotonun, elektronun saçılmadan sonraki momentumlarını ve elektronun kütlesini göstermektedir.  bağıntısının heriki tarafı c ile bölündükten sonra kareleri alınırsa
 
bağıntısı bulunur.  bağıntısı ile yukarıdaki bağıntı karşılaştırılır ise; fotonun ilk ve son momentumu arasında
 
bağıntısı bulunur. Foton momentumunun  ifadelerini burada kullanıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, fotonun ilk ve son frekansları ve dalgaboyları arasında şu bağlantılar bulunur.
 
Burada
   
şeklinde tanımlanan λ ya elektronun Compton dalgaboyu denir. Bu bağıntılardan da açıkça görüldüğü gibi foton bir bilardo topu gibi elektrona enerjisinin bir kısmını aktardığından saçılmadan sonra dalgaboyu artmıştır. dalgaboyu değişimi gelen ışığın dalgaboyundan bağımsız olup en büyük değişim  durumunda  Å kadardır. Fotonu momentumlu bir parçacık gibi ele alarak yapılan bu analizin sonuçları deneyler ile mükemmel bir uyuşum içindedir.
Compton olayında belli bir doğrultuda saçılan ışınımda gerçekte iki farklı dalgaboylu ışınım gözlenir. Bunlardan bir gelen ışınımla aynı dalgaboyuna sahiptir. Bu tamamen atomun kendisi tarafından saçılan bileşendir. Bu bileşenin varlığı klasik elektromagnetik teori ile de anlaşılabilir. Gelen ışığın elektrik alanı, bir harmonik sürücü kuvvet gibi, atomlara bağlı elektronları aynı frekansta salınıma zorlar. kArarlı halde gelen ışığın frekansı ile salınan elektronlar tüm yönlerde  şiddet dağılımı ile ışıma yaparlar. Böyle bir süreçte atomun durumu geçici olarak bozulur ve elektronlar atomlardan sökülmez. Bu mekanizma atoma sıkıca bağlı elektronlar tarafından gerçekleştirilir. Fakat bağ enerjileri 10-100 ev arasında olan atoma gevşek bağlı dış yörüngelerdeki elektronlar gelen ışığın yüksek frekanslı olması durumunda atomdan kopabilirler. Bunlar atoma hiç bağlı değilmiş gibi davranır. Yukarıdaki analiz ile öngörülen λ bileşeni bu elektronlar tarafından saçılan bileşendir

C


Cohran testi: Sürekli değişken yerine sadece 0-0,1 gibi kategoriler olduğunda farklılığın sınanmasında kullanılan yöntem.



















Ç

   Çeyrek Sapma: Örneklemin yarısının dağılmış olduğu alanı gösteren sapma dağılım ölçüsü. (Q)
   Çıkrımsal (Vardamsal-Yordamsal) İstatistik: Örneklem verilerini daha büyük veri kümeleri (evrenler) hakkında tahminler kararlar, kestirimler ve diğer genellemeleri yapmada kullanılan istatistik çeşidi. Beş temel öğesi vardır:
1.   İlgilenilen evren
2.   Araştırılan bir veya birden çok değişken 
3.   Evrenler birimleri  arasından çekilen örneklem
4.   Örneklemin içerdiği bilgiye dayanılarak evren hakkında yapılan çıkarım
5.   Yapılan çıkarımın güvenirliliğinin ölçülmesi
Çift taraflı:  Alternatif hipotezde eşitliğin bulunması durumu. Tarama tipi çalışmaların sınanmasında kullanılır.
Çiftlendirilmiş (Paired/ Matched: Eşlendirilmiş) örneklem: Bir örneklemdeki her veri değeri için ikinci örneklemde buna karşı gelen aynı kaynaktan toplanmış veri değeri ile oluşan örneklemler
Çiftlendirilmiş (Paired/ Matched: Eşlendirilmiş) veriler: Aynı kişiden, elemandan  veya nesneden elde edilen iki veri değeri
Çift serili korelasyon katsayısı: Bir sürekli değişken ile iki kategoriye ayrılmış bir yapay süreksiz değişken arası ilişki bulunmak istenildiğinde kullanılan katsayı. (Biseriol Correlation Frekans Poligonu)
Çizgi grafikleri: Gruplandırılmış serilerin gösterilmesinde kullanılan grafikler.
Çubuk grafikleri: Nitel verileri frekanslarının veye relatif frekansların gösterilmesinde kullanılan her sınıf için eşit genişlikte bir çubuk çizilmesiyle oluşturulan grafikler (histogram)
Çok modlu dağılım: Birden çok tepe noktası olan bölünme.
Çoklu belirlilik katsayısı: (Açıklanan Değişkenlik / Toplam Değişkenlik; R) modeldeki serbest değişkenlerin toplam değişkenliğin  yüzde kaçının açıklayabildiğini gösteren varyans.
Çoklu korelasyon katsayısı: İki bağımsız değişkenin bir bağımlı değişken üzerindeki etkisi araştırıldığında kullanılan ilişki katsayısı.
Çoklu doğrusal regresyon: Birden çok bağımsız değişkenle bağımlı değişkenin açıklandığı regresyon.
Çok yönlü varyans analizi: İki tane kendi arasında ikiden daha fazla kategoriye ayrılmış süreksiz bir değişkenin gruplarını bir sürekli değişken cinsinden ortalamaları arası  farklılıkların sınanmasında kullanılan test.
























D

Dağılım ölçüleri: Ortalamaların etrafında kalan değerlerin ortalamalardan ne kadar uzağa dağıldığını gösteren değerler (değişim aralığı, çeyrekler arası aralık, çeyrek sapma, standart sapma)
Dağılımdan bağımsız (disribition free): Evren dağılım şekli konusunda bir varsayıma dayanmayan tahminci
Daire grafikleri: Nitel verilerin betimlenmesinde kullanılan her parça tek bir sınıfı gösterecek şekilde çizilen grafikler.
Değişim aralığı: Xmax ve Xmin değerleri arasındaki fark.
Değişim katsayısı: 1-Gözlem değerinin ölçü birimine bağımlı olmayan değişkenlik ölçüsü. 2- Standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranlanmasıyla buluna değeri 100 ile çarparak elde ettiğimiz değer.
Değişkenlik ölçüleri: bkz. Dağılma ölçüleri.
Değişken temel devreli endeks (zincirleme endeks): Hesaplanan endekste, temel devre sürekli değişerek bir önceki dönem olan endeks.
Değişken: 1- Evrendeki bir birimin sahip olduğu özellikler. 2- Bir birey veya nesnenin farklı değerler alabilen ölçülebilen her bir özelliği. 3- Bir durumdan bir duruma bir zamandan bir zamana değişiklik gösteren her şey. 4- Her hangi bir değeri temsil edebilen semboller.
Dereceleme (sıralama) ölçeği: Gruplama yapılacak değişkenlerde özelliği açısından miktar farkı olduğunda oluşturulan ölçek
Dizi: bkz. Basit seriler.
Durbin Watson Testi: Hata tahminlerinin serpilme diyagramlarının analizinde kullanılan, regresyonda hata terimlerinin birbirinden bağımsız olup olmadıklarını tespit eden test.
Düzeltilmiş ortalama  (trimean): Aykırı uç değerleri hesaplamalar dışında bırakan kartil ve medyana dayalı olarak hesaplanan ortalama
Düzeltilmiş Ortalama=(Q1+2xMe+Q3)/4


E
Eğilim ölçüleri: Değişik bölünmelerin birbirlerine göre uzaklıklarını belirttikleri, yer tayin eden ölçüler.
En küçük kareler doğrusu: Regresyon tahmininde hataların kareleri toplamını minimize eden doğruyu seçerek oluşturduğumuz doğru modeli.
Eşit aralıklı (invertal) ölçek: Ölçülen değişkenler arasındaki farkları karşılaştıran sayıların kullanıldığı belli başlangıç ve bitiş noktasındaki mesafenin eşit aralıklarla bölmelendirildiği sistem üzerinde değişkenlerin derecelendirildiği ölçek
Evren: bkz. Anakütle     
























F

F dağılımı: Normal dağılma ve aynı varyansa sahip üç ana evrenden örneklem çekildiğinde evren ortalamalarının eşit olması durumunda çekilen örneklemler, birbirine denk tek örneklem olarak değerlendirildiğinde ve evren varyansı ya örneklem ortalamalarının gözlenen varyansı; aritmetik ortalama standart sapmasının karesinden yada üç örneklemin varyanslarının ortalaması olarak tahmin edilip bu iki değer birbirine oranlandığında elde edilen dağılım
F testi: bkz  ANOVA
Friedmann testi:  Sürekli değişken için kullanılacak ölçeğin güvenilir olmadığında sıralamalar ölçeğine dönüldüğünde ortalamalar arası farkı sınamak için kullanılan test.
Frekans: Herhangi bir nitel yada nicel değişken değerinin evrende veya örneklemde kaç kez tekrarlandığını gösteren sayı, tekrar sayısı.
Frekans dağılımı: Frekansların sayısal değerleri nasıl dağıldıklarını gösteren iki sütun veya satırdan oluşan tablolar.
Frekansın standart hatası: Örneklem frekansının evren değerinden uzaklaşma oranı.











G
Geometrik ortalama: n kadar değerin çarpımlarının n derecede kökü
Gözlenen anlamlılık düzeyi: Test istatistiğinin hesaplanan değeri Ho’ın doğru olması varsayımıyla bulunan değer ile kritik değerin karşılaştırılması ile elde edilen p olasılığının anlamlılığı (buluna değer kritik değerden büyükse Ho reddedilir, küçük veya eşitse reddedilmez )
Grafik: Gözlem sonuçlarının matematiksel ve bilimsel temellere sahip şekiller halinde ifadesi. Grafik çiziminde ölçek, pozisyon, çizim, okuma ve yazma kuralları uygulanır.
Granger testi: İki değişken arasına nedensel bir ilişki olup olmadığını inceleyen test.
Gruplama: Bir seride birbirine yakın olan değerleri sınıflar halinde toplama işlemi.
Gruplama (sınıflama) ölçeği:  Aynı özelliğe sahip nesneleri diğer gruplardan ayırmak için onlara bir sayma sayısı verilerek oluşturulan ölçek. Değişkenleri sadece birimleri farklı kategoriler halinde sınıflandırdığımız ölçek. (kategoriler nicelleşemez, sınıflandırılamaz)
Gruplanmış seriler: Gruplama işleminden geçirilmiş seriler
Güven aralığı: Evren parametresini belirli bir olasılıkla kapsayan aralık.
Güven düzeyleri: Güven katsayısı olasılıklarının yüzde olarak, %95 veya %99 şeklinde ifade edilmesi.
Güven katsayısı (hata payı): Tekrar ve çok sayıda aralık tahmini yapıldığında tahmincinin evren parametresini içine alma kapsama olasılığı. (0,95 ve 0,99 en sık kullanılan güven katsayılarıdır.)
Güven sınırları: Güven aralığının alt ve üst sınırlarına verilen ad.






























H
Ham veri: Her hangi bir istatistiksel işlem görmemiş veriler.
Harmonik ortalama: Toplam frekansın her değerin tersinin toplamına oranı; hız, fiyat, verimlilik hesaplamalarında kullanılan ortalama.
Hata payı: bkz. Güven katsayısı
Hata terimlerini analizi: bkz. Durbin Watson Testi
Hataların kareleri ortalaması: Öngörülen ve gerçek değerler arasındaki farkların kareli ortalaması.
Hataların kareleri toplamı: Bir serpilme diyagramındaki veri noktalarının doğrusal regresyon denkleminden olan sapmaların (gerçek y değerleri) ile doğru üzerinde yer alan teorik () değerleri arasındaki farklar.
Hipergeometrik tesadüfi değişken: Süreksiz gerçek değişkenlerin olasılık dağılımlarında  kullanılan aşağıdaki özellikleri taşıyan değişkendir.
-   hipergeometrik tesadüfi değişken x, n birim çektiğimizde başarı sayısıdır.
Hipotez testi: (Ho Null Hipotezi) evren parametrelerine ilişkin değerleri eşitlik halinde ifade eden anlamlılık testi.  Kabul edilmesi evrende böyle bir ilişki olmadığını gösterir. Reddi durumunda ilişki vardır şeklindeki H1 hipotezi kurulur.
Histogram: Nicel verileri gösterilmesinde kullanılan; dikey eksene frekansların, yatay eksene verilerin sınıflarının yerleştirildiği her sınıfın kendi frekansı kadar yükselen dörtgenlerden oluşan grafikler.
 Ho testi: bkz Hipotez testi








I İ

İkinci grup tamamlayıcı testler: Grupları homojen çıkmaması durumunda ANOVA değerleri için kullanılan  testler (Dunlet, Tomhones... vb)
İkinci kortil(Q2): medyan; Y50.;  Bütün değerlerin alttan ve üstten yarısını bırakan değer.
İlişki: Değişkenler arasındaki neden sonuç durumlarının istatistiki değerlendirilmesi (korelasyon)
İlişki tanımları:
1.   Deterministik İlişki: Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkenlerdeki değişkenliği açıklamak için gerekli ve yeterli olduğu ilişki durumu.
2.   Stokastik İlişki: Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkenlerdeki değişkenliği açıklamak için gerekli ancak gereksiz olduğu durumlarda denklemde geriye açıklanamayan bir hata payı kalan ilişki durumu.
3.   Birlikte Değişme: Değişkenlerin hangilerinin neden hangilerinin sonuç olduğunun bulunmadığı yalnızca değişkenlerin birlikte değiştiklerini arttıklarını veya azaldıklarını bulabildiğimiz ilişki durumu.
İlişkili grup t testi: Bir testin güvenirliliğinin sınanmasında veya deneysel çalışma modelinde büyük örneklemede bir sürekli değişkenin aynı grup üzerinde farklı zamanlarda uygulanan testlerin sonuçları arasındaki farkı tespit etmek için kullanılan tekniktir.
İlişkisiz grup t testi: Büyük örneklem için iki kategoriye ayrılmış bir süreksiz değişken (bağımsız değişken) ile bir sürekli değişkenin (bağımlı değişken) aritmetik ortalamaları arası farkın test edilmesinde kullanılan yöntem.
İstatistik: 1- Bir örneklemden hesaplanan özet değer, 2- örneklemden elde edilen değer.
İstatistiksel anlamlılık: 1- Bir farkın bulunduğu konusunda yeterli verinin toplanması. 2- Örneklem verilerinin uygun istatistiki yöntemlerle sınandıktan sonra evren parametresini ifade etme yeterliliği.
İstatistiksel hata: Örnekleme yaparken oluşan rast geleliğin sağlanamadığı durumlar yada ortalamaları evren ortalamasıyla karşılaştırdığımızda ortaya fark oluştuğu durumlar.
İstatistiksel hipotez: Bir rassal değişkenin olasılık dağılımına ilişki ifadesi.
İstatistiksel hipotez testleri: Ho ve alternatifi H1 şeklinde çiftler halinde ifade edilen Ho hipotezi için evren parametresine ait değerleri eşitlik halinde; H1 hipotezi için aynı parametrenin değerlerini eşitsizlik, büyük veya küçük olarak ifade eden istatistiksel hipotez değerlendirmeleri.


























J






















K
Kantiller: Bir seriyi frekans yönünden dört, on veya yüz parçaya bölen merkezi yığılma ölçüleri. Persontiller- yüzdelikler.
Kartiller: Bir seriyi dört eşit parçaya bölen değerler. (Q1-Q2-Q3)
Kartillerarası fark: Q3-Q1 değeri
Kendal’ın konkordans ilişki katsayısı: İkiden fazla sıralanmış değişken olduğu durumlarda bu değişkenler arası ilişki hesaplanmasında kullanılan nonparametrik teknik.
Kısmi korelasyon katsayısı: Var olan üç değişkenden bir tanesini kontrol altında tutup diğer iki tanesi arası ilişkiye bakıldığında kullanılan ilişki katsayısı.
Ki kare dağılımı: Parametresi serbestlik derecesi olan t dağılımına benzer dağılım.
Ki kare test istatistiği: Gözlenen frekanslarla teorik frekanslar arasındaki farkların karelerinin teorik frekanslara bölünmesiyle elde edilen değerlerden hesaplanan; elde edilen değerlerin serbestlik derecelerine göre hesaplanmış olan kritik değerleri ile karşılaştırılmasıyla elde edilen istatistik yöntemi.
Ki kare () bağımsızlık testi: Nitel değişkenler arasındaki etkileşimi araştırmakta kullanılan genellikle kontinenç tablolarına uygulanan testlerdir. Bağımsız değişkenin bağımlı değişkene anlamlı düzeyde bağımlı olup olmadığının sınandığı durumlarda kullanılır.
Ki kare uygunluk testi: (1)Gerçek hayattan örnekleme tamsayım ile elde edilen bir veri grubunun hangi teorik dağılıma uyduğunun bulunmasında. (2) Bir örneklemin teorik bir dağılım ile veya geçmiş yıllarda belirlenmiş olan bir dağılımla karşılaştırılmasında, (3) tek bir örneklemin tek bir evrenin dağılımınauygun olup olmadığının belirlenmesinde kullanılan; serbestlik derecesi, sınıf sayısında dağılımın parametre sayısı çıkarılarak elde edilen testtir.
Kolmogorov-Simirnov  tek örneklem uygunluk testi: Çekilen örneklemin sözü edilen dağılıma sahip ana kütleden gelip gelmediğinin araştırıldığı test istatistiği. Teorik dağılım altında geçerli olan kümülatif frekans dağılımını, gözlenen verilerin kümülatif frekans dağılım ile karşılaştırır. İki kümülatif dağılım arasındaki en büyük sapma en büyük mutlak fark olarak belirlenir ve test istatistiği olarak kullanılır.
Kontenjans tablosu: Sayma verilerini iki boyutlu bir tabloda ikji değişkene göre satır ve sütunlarla oluşturulmuş tablo. Genellikle ki kare testleriyle test edilirler.
Kontinenci tablosu: bkz. Kontenjans tablosu
Korelasyon: bkz İlişki
Korelasyon katsayısı: İstatistikte değişkenler arasındaki ilişkinin derecesi.
Kovarvans: İki değişkenin ayrı objelerine ait değerlerinin bu değişkenlere ait aritmetik ortalamalarından farklarının çarpımlarının aritmetik ortalaması.
Kritik değer: İstatistiksel hipotez sınanmasında red bölgesinin sınırında bulunan değer.
Kruskall-Wallis testi: Kendi içinde (+)veya(-) çarpıklaşan yada küçük örneklemlerde ikiden fazla kategoriye ayrılmış bir süreksiz değişkenin bir sürekli değişken açısından aritmetik ortalaması farklılıklarının sınanmasında kullanılan yöntem.
Küçük örneklem: Eleman sayısı (n) 30’dan küçük olan örneklemler.
Küme örneklemesi: Elde bir çerçeve bulunmadan yapılan örnekleme.
Kümülasyon (yığmalı frekans): Frekansların bir biri ardına toplanması işlemi
Kümülatif seri:  Yığılmalı frekans dağılımı ile elde edilen seri.
   

























L
Levenes test: 1- İki ilişkisiz grup sürekli değişken puanlarının varyanslarının homojenliğinin (standart sapma çakışıklığının) test edilmesinde kullanılan test. 2- büyük varyansın küçük varyansa oranı.
Lilliefors testi: Nonparametrik normalite testidir. Örneklem tahmin edilmesi gereken bilinmeyen parametreler olduğundan Kolmogorov-Simirnov testi yerine kullanılır.

























M


     

   

FİZİK DERSİ DENEY RAPORU

KONU          : Düzgün Olmayan Cisimlerin Hacimlerinin Ölçülmesi
TARİH         : 24/10/2002
DENEY NO : 2





   





    Öğrenci               Öğretmen         
H. Yiğit ZENGİN   Mehmet KARAKIZ
     Fizik   Öğretmeni








DENEY 1

Deney Tarihi       :   24/10/2002
Deney  No            :    2.1
Deney Konusu     :    Hacim Ölçümleri
Deneyin Amacı    :    Deneyde kullanılan sıvıların hacimlerini bulmak
Araçlar-Gereçler : - Dereceli silindir(50 cm  )
   - Dereceli silindir içine girebilecek,
          suda çözünmeyen madde
   -Su

Deneyin yapılışı :   1) Dereceli kabın içine katı madde atılınca taşmayacak şekilde su koyduk.
2)   Katı maddeyi kabın kenarından kaydırıp suyun içine bıraktık. Bir                                                                     miktar su yükseldi.
3)   Katı cisim ve suyun hacmine V2
Sıvının hacmi V1
Vcisim=V2-V1 Eşitliği bize katı maddenin ağırlığını verir.


   V   Kum
   Su
   Vkum+su
   Vtoplam


Hacim
   
27 cm3

   
19 cm3
   
46 cm3

   
34 cm3





Vkum+su
   Vtoplam
   Vhava
(Vkum-Vtop)
46 cm3
   34 cm3
   12 cm3





Vkum

   
Vhava

   
Vhava/Vkum
 
   
   %



27 cm3
   
12 cm3
   
12/27
   
%44,4









DENEY 2

Deney No             :  2.2
Deneyin konusu   : Kumun hacminin ölçülmesi
Deneyin amacı     : Kum gibi taneciklerin arasında boşluk bulunan katı maddenin hacmini
              ölçmek.
Araçlar-Gereçler :
         -İki adet dereceli silindir
    -Kum
    -Su
Deneyin yapılışı : Dereceli kaplara birine bir miktar kum, diğerine de bir miktar  su koyduk.
Bilgileri deftere kaydettik. Kumun üzerine suyu boşalttık. Kum+su               karışımının hacmini hesapladık.Sonucun aynı olup olmadığına baktık.


V   
Kum   
Su   
Vkum+Vsu   
Vtoplam

Hacim   
30 cm3   
40 cm3   
70 cm3   
60 cm3



Vkum+Vsu   
Vtoplam   Vhava
(Vkum-Vsu)


70 cm3   
60 cm3   
10 cm3



Vkum   
Vhava   
Vhava/Vkum   
%

30 cm3   
10 cm3   
10/30   
0,33 cm3
   






            DENEY 1 + DENEY 2

   
Vkum   
Vsu   
Vkum+Vsu   
Vtoplam   
Vhava   
%Vhava

Kalın Kum   
27 cm3   
19 cm3   
46 cm3   
34 cm3   
12 cm3   
44

İnce Kum   
30 cm3   
40 cm3   
70 cm3   
60 cm3   
10 cm3   
33


DENEY 3

Deney No             :  2.3
Deneyin konusu   : Birbirine karışmayan sıvıların hacmini hesaplama
Deneyin amacı     :  Birbiri içinde çözünmeyen sıvıların ikisini karıştırdığımızda toplam 
              hacimde değişme var mı diye araştırmak
Araçlar-Gereçler : -İki adet dereceli silindir (50 cm  bölmeli)
               -Su
               -Zeytinyağı     
Deneyin yapılışı :  Dereceli silindirlere birine bir miktar su diğerine ise zeytinyağı koyup, bu değerleri yazdık. Daha sonra alkolü suyun üstüne döktük. Zeytinyağı ve suyun toplam hacimlerini bulduk.

V   
Su   
Zeytinyağı   
Vyağ+Vsu   
Vtoplam

Hacim   
12 cm3   
23 cm3   
35 cm3   
35 cm3



Vyağ+Vsu   
Vtoplam   
(Vyağ-Vsu)


35 cm3   
35 cm3   
11 cm3



Vyağ   
Vsu   
Vsu/Vyağ   
%

23 cm3   
10 cm3   
12/23   
0,52 cm3

CİSİMLERİN DAYINIMI

SORULAR 0001

1-   Fizik bilimlerin ve onun bir dalı olan mekaniğin amaçları nelerdir ?
2-   Sıvıların mekaniği neyi inceler ?
3-   Hidrolik sistemde basınç ne ile ölçülür ?
4-   Gazlarla ilgili mekanik sisteme ne ad verilir ? Çevrenizdeki hareketlerden
5-   Aerodinamik biçim denilince n anlarsınız ? Araştırınız.
6-   Statik nedir ? Hangi konular inceler ?
7-   Hareket nedir ? Düzgün hareket yapan 120km yolu 1 saat 40 dakikada alıyor. Hızını, km/h ve m/s cinsinden bulunuz.
8-   Dinamiğin temel prensibi nedir ? Açıklayınız.
9-   Kg ve N sembolleriyle ifade edilen birimler neleri ifade etmektedir ? Açıklayınız.
10-   Ağırlık ve ağırlık kuvveti kavramlarını karşılaştırıp, hangi sembollerle ifade edildiğini açıklayınız ?
11-   Yer çekimi dünyanın her yerinde aynı mıdır ? Araştırınız.
12-   Pa (Paskal ), N (Newton ) birimlerinin kullanım alanlarına örnekler veriniz.

CEVAPLAR 0001

1-   Cisimlerin etki eden kuvvet sistemlerini ve bu sistemlerin cisimlerde oluşturdukları hareketleri, grafik ve analitik olarak inceler.
2-   Hareketsiz sıvıların denge şartlarını inceler.
3-   Xxxx . Basınç birimi Paskal . Vargel, araba freni, hidrolik pres.
4-   Aerodinamik. Kompresör
5-   Hava yada gaz halindeki bütün akışkanları inceler.
6-   Kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge şartını inceler. Statiğin temel prensipleri, problem çözümlerinde çok önemlidir. Aralarında Newton’un da bulunduğu ilgili prensipler, kuvvetler bahsinde incelenecektir.
7-   Bir cismin yeri yada durumunun değişmesi 72km- 20m/s
8-   Cisimlerin kuvvet etkisi altındaki hareketlerin grafik ve analitik olarak inceler.
9-   Kg kütle birim N kuvvet birimidir.
10-   Yerçekiminin,bir cisim molekülleri üzerindeki etkisinin bileşkesi
11-   Hayır. Kutuplar dünyanın merkezine daha yakındır bu yüzden kutuplarda yer çekimi daha güçlüdür.
12-   Paskal prensip Hidrolik , Newton prensibi kuvvet ve kütle kavramlarını inceler.

SORULAR 0002

1-   Kuvvet nedir? Nasıl bir değerdir ve kaç elemanı ile tanımlanabilir?
2-   Kütle, ağırlık ve kuvvet kavramalarını karşılaştırınız. Birimlerini ve yönlerini inceleyiniz.
3-   Halat çekme oyununda halatın A ucunda 3’çocuk 1=250n ;2=325n;3=225n kuvvetlerle asılıyorlar. B ucundan başka 3’çocuk sırası ile 4=400n;5=300n;6=275’luk kuvvetlerle çekerlerse; hangi taraf oyunu kazanır ? Çekme  yönü ne olur?

CEVAPLAR 0002
1-   Duran bir cismi hareket ettiren hareket halindeki cismi durduran cisimler üzerinde değişiklik yapan etkiye kuvvet denir. Vektör el bir büyüklüktür. Doğrultusu, yönü, şiddeti, uygulama noktası.
2-   Ağırlık: Bir  Cismin değişmez madde miktarıdır. Kütle miktarı bulunduğu yere göre değişmez, hep ayınıdır. Kütle: Kütlenin bulunduğu yerdeki yerçekimi kuvvetini sonucudur.
3-   F1 + F2 + F3 – F4 + F5 + F6 = Sonuç  250 + 325 + 225 – 200 + 300 + 275 = -25

SORULAR 0003

1-   Kuvvet Nedir ? Nasıl Meydana Gelir ?
2-   Kuvvet nasıl bir değerdir ? kaç Elemanı ile belirtilir ?
3-   Kütle ve ağırlık kavramları  arasında ki farkı örneklerle açıklayınız
4-   Kuvvet biriminde alınan esas nedir ? İnceleyiniz.
5-   Kuvvetler sisitemini ve bileşkeyi tanımlayınız.
6-   Bir  noktada kesişen kuvvetlerde ; dar açıda, dik açıda ve geniş açıda kesişme durumlarda oluşan bileşkelerin büyüklerini karşılaştırınız. Hangi sonuca varacaklasınız ?
7-   Bir kuvvet doğrultusu boyunca kaydırılırsa değerinde bir değişiklik olur mu ? Yer değiştirme hangi durumlarda gerekli olur ? Araştırınız .
8-    Bileşkenin grafik metotla bulunmasında, paralel kenar ile kuvvetler çokgeni metotlarını karışlaştırınız. Üstünlükleri nelerdir ? Niçin ölçekli çizim yapılır ? Araştırınız.
9-    Bileşkeyi analitik metotla bulurken, ölçekli çizime gerek var mıdır ? Bileşke sonunda nasıl bir değer çıkar?
10-   Aşağıdaki ki birimlerin karşılıklarını yazınız.
              1 Kg     =................ N
             1 kN    =................ daN
             1 daN  =................ N
        11- Aralarında 600 açı bulunan 300 N ve 500 N ‘ luk kuvvetlerin bileşkesini daN olarak ; grafik ve analitik metotlarla bulunuz.

                CİSİMLERİN DAYANIMI

Cisimlerin mukavemeti, mekaniğin şeklini değiştiren cisimler ile uğraşan bir bölümüdür. Bu bilim dalı çok kez mukavemet adı ile de anılır. Şeklini değiştirmeyen cisimler, yani rijit cisimler, mekaniğin rijit cisim mekaniği bölümünde incelendi. Rijit cisim mekaniğinin bir çok probleme çözüm getirmemesi nedeniyle cisimlerin mukavemetine gereksinim duyulmaktadır. Rijit cisim mekaniğinin cevap vermediği en önemli iki problem: Cisme gelen dış etkileri cismin taşıyıp taşıyamayacağı ve dış etkiler altında cismin yaptığı şekil değiştirmelerin bulunmasıdır. Bu ve bunun gibi cismin dayanımı ve şekil değiştirmesi ile ilgili problemlere cisimlerin mukavemeti ile cevap verilmeye çalışılmaktadır.

Uygulamada mukavemetten beklenen: Boyutlandırma ve kontrol problemlerine çözümleridir. Boyutlandırma problemi; tasarlanan sistemin boyutlarının belirlenmesidir. Çok kez tasarlanan sistemin bazı boyutları gereksinim veya mimari nedenler ile önceden belli olabilir. Diğer boyutların belirlenmesi istenir. Örneğin bir oda döşemesinin iki boyutu mimari nedenler ile önceden belirlenir ve döşeme kalınlığı istenir. Silindirik bir kazanın uzunluğu ve yarı çapı işletme gereksinimleri ile belirlenir ve saç kalınlığı istenir. Kontrol probleminde ise sistemin boyutları belli olup sistemin verilen yükü verilen güvenlik ile taşıyıp taşımayacağı sorulur. İleride görüleceği gibi bu iki problem birbirinden pek farklı değildir. Boyutlandırma veya kontrol problemlerine cevap verilirken sistemin yükleri belirli bir güvenlik ile taşıması istendiği gibi aynı zamanda da sistemin şekil değiştirmelerinin belirli sınırlar içinde kalması ve dengenin kararlı olması da istenir.

Boyutlandırma problemine özüm aranırken güvenlik ve maliyet faktörleri göz önüne alınır. Malzeme kusurları, teoride yapılan kabuller, dış yüklerin tam belirli olmaması, malzemenin zamanla yıpranması gibi faktörler göz önünde bulundurularak; sistem dış etkilere tam dayanacak şekilde boyutlandırılmaz; sistemin boyutları, güvenlik düşüncesi ile arttırılır. İşçilik ve malzeme giderlerinden oluşan maliyetinde az olması istenir. Güvenlik ve maliyet faktörleri birbirinin tersi sonuç verir. Güvenlik artınca maliyet de artar. Tasarımcı bu iki şart için optimum bir çözüm bulmaya çalışır.

Yukarda belirtilen bu iki şartın haricinde bazı sistemlerde üçüncü şart olarak, bilhassa yapı sistemlerinde, estetik şartı ortaya çıkabilir bu gibi durumlarda sistemin estetik olması için maliyet şartından ödün verilir. 
   
   

MUKAVEMETİN İDEAL KAVRAMLARI VE İLKELERİ

Her bilim; problemleri ile uğraşırken bazı tanımlar yapar, problemlerinin modellendirilmesine kolaylaştırmak için bazı ideal kavramları kullanır ve bir takım ilkeler koyarak temel problemini çözmeye çalışır.

Mukavemette tanım ve idealleştirmeler daha çok dış etki ile şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılarda yapılmaktadır şekil değiştirme oluştuktan sonra dış etki kaldırılınca hemen geri dönen şekil değiştirmelere elastik şekil değiştirme ve bu özellikleri cisimlere elastik cisim adı verilir. Elastik şekil değiştirmeler zamandan bağımsızdır, dış etki kalkınca hemen geri döner.

Dış etkiler kalktıktan sonra hemen geri dönmeyen şekil değiştirmelere ise elastik olmayan şekil değiştirmeler adı verilir. Elastik olmayan şekil değiştirmeler içinde zamana bağlı olmayan şekil değiştirmelere plastik şekil değiştirme ve bu özelliğe sahip cisimlere plastik cisim adı verilir. Plastik şekil değiştirmeler kalıcı şekil değiştirmelerdir. Burada plastik kelimesi polimerik malzemeler için genel olarak kullanılan isim anlamında kullanılmamaktadır.

Bu cisim yüklendikten sonra yükün sabit kalmasına karşın şekil değiştirmeler zaman içinde artabilir. Bu olaya sünme denir. Her hangi bir yüklemeden sonra yük kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı zaman içinde geri gelebilir bu olaya elastik gecikme denir. Elastik gecikmedeki geri dönen şekil değiştirmeler her ne kadar elastik şekil değiştirmenin bir formu ise de zamana bağlı olması nedeniyle elastik olmayan deformasyonlar arsında düşünülmektedir. Bazı yazarlar sonradan geri dönen kısmın elastik şekil değiştirmenin bir formu olması nedeniyle elastik şekil değiştirme olarak kabul ederler.

Zaman faktörü göz önüne alınmadığı takdirde cisim üzerindeki dış etkiler kalktıktan sonra geri dönen şekil değiştirmeler elastik şekil değiştirmeler ve geri dönmeyen kalıcı şekil değiştirmeler plastik şekil değiştirmeler olarak tanımlanır.

Elastik ve plastik cisimler ideal cisimlerdir. Böyle cisimler doğada yoktur. Doğada bulunan cisimlerde dış etkiler kalktıktan sonra şekil değiştirmenin bir kısmı geri gelir ve bir kısmı geri gelmez. Bu cisimlere elasto- plastik cisim adı verilir. Kalıcı ve elastik şekil değiştirmenin miktarına göre cisim idealleştirilerek elastik veya plastik cisim olarak kabul edilir şayet elastik ve plastik şekil değiştirmeler mertebe olarak farklı değil ise cismi elasto- plastik cisim olarak göz önüne almak gerekir.

Uygulamada sık kullanılan bir başka idealleştirme, cismin şekli değiştirme kanunun doğrusal kabul edilmesidir. Bu şekilde idealleştirilen cisme hook cismi veya doğrusal elastik cisim adı verilir.


Özellikleri noktadan noktaya değişmeyen cisimlere homojen cisim adı verilir. Özellikleri doğrultuya göre değişmeyen cisimlere ise izotrop cisim aksi halde anizotrop cisim adı verilir.

Zamana bağlı şekil değiştirmede şekil değiştirme hızı gerilmenin fonksiyonu ise böyle cisimler viskos adı verilir. Bağıntı doğrusal ise doğrusal viskos cisim aksi halde doğrusal olmayan viskos cisim adı verilir.

Katılaşma İlkesi

Bu ilkeye göre; bir cisim şeklini değiştirdikten sonra rijit cisim olarak göz önüne alınıp denge denklemleri yazılabilir. Bu ilke yardımı ile rijit cisim mekaniği ile şeklini değiştiren cisimler mekaniği arasında köprü kurularak rijit cisim mekaniğinin denge denklemi kullanılır.

Ayırma İlkesi

Bu ilkeye göre; bir cisim düşünsel olarak daha küçük parçalara ayrılıp her parça yeni bir cisim gibi göz önüne alınabilir. Gerçekten ikiye ayrılmış cisimler için bu ilke aşikardır. Ayırma ilkesine kesit ilkesi de adı verilir. Bu ilke rijit cisim mekaniğinde gereken yerlerde kullanıldı; örneğin kafes kirişlerde kesim yöntemi ile çubukların hesaplanmasında. Bu ilke aynı zamanda cismin sürekli bir ortam olduğunu belirtir. Ayırma ilkesi yardımıyla iç kuvvet kavramı tanımlanır.

Saint-Venan İlkesi

Bu ilkeye göre; elastik bir cismin belirli bir bölgesine etkiyen dış kuvvetlerin eş değerleri alındığında bu bölgeden yeter uzaklık da bulunan noktalarda gerilmeler ve şekli değiştirmeler yaklaşık olarak değişmezler.








Statikte kullanılan kaydırma ve statik eşdeğerlerini alma ilkesi şekil değiştiren cisimler mekaniğinde geçerli değildir. Örneğin şekil 1.1(a) da görülen çubuğa etki eden kuvvetler kendi doğrultularına kaydırıldığında şekil 1.1(b) de görülen durum elde edilir iki durum şekil değiştiren cisimler mekaniği bakımından birbirinden farklıdır. Birinci çubuğun boyunun uzamasına karşın ikinci çubuğun boyu kısalır. Saint-Venan ilkesine göre; işlemlerin yapıldığı bölgeden kafi derecede uzak yerlerde, kuvvetler kaydırılır veya eşdeğerleri alınır. Şekil 1.2 de görülen yayılı yükler yerine Q bileşkesinin konulması çubuk uçlarından uzak noktalarda hesap yapıldığı zaman geçerlidir.

Birinci Mertebe Teorisi

Şekil değiştirmeler küçük olduğunda cisimlerin şekil değiştirmiş haliyle şekil değiştirmemiş hali arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri şekli değiştirmemiş cisim üzerinde yazıla bilir. Bu şekilde yapılan hesaplara birinci mertebe teorisi adı verilir. Şekil 1.3 de görülen ankastre kirişte mesnet momenti hesaplanırken L1 uzunluğu yerine L uzunluğun alınarak momentin PL olarak hesaplanması birinci mertebe teorisine bir örnektir.

Şekil değiştirmelerin büyük olduğu sistemlerde; örneğin yüksek binalar, asma köprüler birinci mertebe probleminde uygun sonuç vermez. Bu durumda şekil değiştirmeler küçük kabul edilmeyip denge denklemine şekil değiştirmiş cisim üzerinde yazmak gerekir. Bu hesap şekline ikinci mertebe teorisi adı verilir ki  şekil değiştirmeler baştan bilinmediğinde hesaplar daha uzundur.







CİSİMLER

Mukavemette cisim olarak herhangi bir cisim değil mühendislikte kullanılan malzeme göz önüne alınır. Mühendislikte kullanılan malzemeler çeşitli şekillerde sınıflandırılırlar. Bu sınıflandırmalar için malzemelerin mikro yapılarına ve kimyasal bağlarını kriter olarak göz önüne alan sınıflama en tutarlı sınıflamalardan biridir. Bu sınıflamaya göre malzemeler: a) metaller, b) alaşımları, c) seramikler, d) kompozitler olmak üzere dört gurupta toplana bilir.




GERİLME ANALİZİ

2.1 Bir Eksenli Gerilme Hali : Normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuğun dik kesitlerinde normal gerilmeler meydana geldiğini gördük şimdi çubuğun eğik kesimlerindeki durumu incelmek istiyoruz. Dik kesitteki gerilmelere 1 indisi ekleyerek şöyle yazabiliriz.
                   
          σ =N/F





Dik kesiti dış normali, çubuğun z ekseni doğrultusunda idi. Eğik kesitin eğimini tanımlamak için bu kesitin dış normalinin z ile yaptığı Ø açısını kullanacağınız ( şekil 2.1d). Eğik olan kesitin F’ alanı daha büyüktür ve iz düşüm şartından

            F’= F/ cos Ø                                                        ( 2.1 )







yazılır. Normal kuvvet eğik alanı üzerine de düzgün yayılacağından birim alana gelen kuvvet, yani eğik gerilme

         tØ= N/F’ =N/(F/cosØ) =(N/F)xcosØ =σ1xcosØ     ( 2.2 )
olur. Yüzeye göre eğik olan bu gerilmeleri yüzeye normal ve yüzey içinde iki bileşene ayırırsak ( Şek. 2.1 e )
σ = tØ x cos Ø     
τ = -tØ x sin Ø                                             ( 2.3 )
elde edilir. Görüldüğü gibi eğik kesitlerde normal gerilmeden başka kayma gerilmeleri de bulunmaktadır. Kayma gerilmelerine konan eksi işareti, bir işaret kabulünden doğmaktadır. Kayma gerilmesi için pozitif yönü şöyle tanımlıyoruz: Yüzeyin dış normalini matematik pozitif yönde ( saat ibrelerinin tersi yönünde ) yüzey üstüne getirmekle elde edilen yön, kayma gerilmeleri için pozitif yöndür         ( şek. 2.2 ).
( 2.2) deki tØ değeri ( 2.3 ) de yerine konursa
                           σ = σ1 x cos²Ø
                           τ = - σ1 x sinØ x cosØ                                    ( 2.4 )






elde edilir. Böylece eğik kesitlerdeki σ ve τ, dik kesitteki σ1 değerine bağlı olarak ifade edilmiş olmaktadır.

Eğik kesitlerde kayma gerilmeleri meydana gelişini şu deney gayet iyi açıklar ( Şekil 2.3): dik kesitle ayrılmış bir çubukta P kuvveti iletilebildiği halde eğik kesitle ayrılmış iki parçada yükü iletmek mümkün olmaz. Bu kayma etkisi, kesilmemiş çubukta malzeme tarafından taşınmaktadır.






( 2.4 ) formülleri Ø’ nin 0º  ile 360º arasındaki bütün değerleri için doğrudur. Ø yerine Ø+180º konursa karşı yüzeydeki ( şek 2.4 ) gerilmeler elde edilir. Karşı yüzeydeki gerilmeler birbirinin aynı olmalıdır, formülde bu sonucu verir:
           
                                σØ + 180º = σØ
                                τØ + 180º = τØ                                             ( 2.5 )
Yönleri ise birbirinin aksidir.
Birbirine paralel kesitlerde Ø aynı olduğundan gerilmeler aynıdır.
Birbirine dik olan iki kesitteki kayma gerilmeleri arasındaki bağıntı ilginçtir.
                 τØ + 90º = - σ1 x sin (Ø + 90º ) x cos ( Ø + 90º )
                                 = - σ1 x cos Ø x ( -sinØ ) = - τØ
                 τØ + 90º = -τØ                                                                                      ( 2.6 )
O halde dik iki yüzeydeki kayma gerilmeleri şiddetçe aynı, işaretçe terstir.

2.2 İki Eksenli Gerilme Hali : Bir çubuğu keserek bir eksenli gerilme halini inceledik. Şimdi çubuk kavramını bir yana bırakılarak iki doğrultuda gerilme etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alacağız      ( Şek. 2.5 ) bu cisim bir plak veya kabuğun bir parçası olabilir; fakat aynı zamanda bir çubuk içindeki elemanda olabilir.

Şimdi cismin içinde, σ1 ile Ø açısı yapan bir yüzey üzerindeki gerilmeleri hesaplamak istiyoruz ( şek. 2.6 a) bunun iki tane bir eksenli gerilme halinin toplamı olarak bulmak mümkündür.







Yalnız σ1 gerilmeleri etkisindeki cisim için ( Şek. 2.6 b) Ø eğimindeki yüzeyde meydana gelen gerilmeler ( 2.4 ) gereğince
                         
                            σ  = σ1 x cos² Ø
                            τ´ = -σ1 x sinØ x cosØ                                 

olur. Yalnız σ2  gerilmeleri etkisindeki cisimde ( şek. 2.6 c ) yine          ( 2.4 ) formülleri kullanılabilir; ancak bu defa Ø yerine – ( 90º-Ø ) koymak gereklidir o halde
           σ´´ =  σ2 x cos² [-( 90-Ø)]
           τ´´ = -σ2 x sin [-(90-Ø)] x cos x [-( 90-Ø)]
olur.
Cos [- ( 90-Ø ) ] = sinØ, sin [- ( 90-Ø ) ] = - cosØ
Olduğundan
             σ´´ = σ2 x sin²Ø
             τ´´ = σ2 x sinØ x cosØ
elde edilir.σ1 ve σ2’ nin bir arada bulunması halinde
σ = σ´ + σ2´´, τ = τ´ + τ´´ olacağından
             σ = σ1 x cos²Ø + σ2 x sin²Ø
             τ = -σ1 x sinØ x cosØ + σ2 x sinØ x cosØ                        ( 2.7 )
elde edilir.
2.3 Bir Noktadaki Gerilme Hali: σ1 ve σ2 gerilmeleri etkisinde bulunan bir cisim göz önüne alalım ( Şek. 2.7 ). Cismin içindeki bir A noktasındaki gerilme halini bilmek, o noktadan geçen her eğimdeki yüzeyde bulunan gerilmeleri bilmek demektir. Bundan önceki kısımda çıkarılan formüller, σ1 ve σ2 verilince her hangi bir açık yüzeydeki gerilmeleri bulmak olanağını vermektedir şu halde bir noktadaki iki eksenli gerilme hali üç sayının verilmesi ile belirli olmaktadır. Bu üç sayı σ1, σ2, Ø olmak zorunda değildir. Gerçekten, A noktasını içine alan sonsuz küçük bir prizma alalım ve bunun yüzeylerinin normalini x ve y ile gösterelim ( şek. 2.7 a ). Bu yüzeylerdeki normal gerilmeler σx ve σy olsun. Kayma gerilmelerini iki indisle göstermek gerekmektedir.