Dosya ektedir bu sayfa sadece tanıtım içindir. Ekteki dosyayı indirmek için üye girişi yapmalısını üyelik tamamen ücretsizdir. 

 KARMAŞIK SAYILAR VE İŞLEMLERİ
GİRİŞ
Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar .Bu sayıların alternatif akım devrelerce kullanılması ile vektörel  işlemler cebirsel  işlem halin dönüşür.
Bu bölümde karmaşık sayılar tanıtılacak ve çeşitli işlemlerin nasıl yapılacağı gösterilecektir. Vektörleri bilinen karmaşık büyüklükleri cebirsel veya skaler büklüklerden ayırmak için sembol harfi üzerinde bir vektör işareti, ya bir çizgi yada bir nokta kullanılır. Örneğin bir A karmaşık sayısı,
                            veya   veya    veya A     şeklinde gösterilir
        A-SAYILARIN TANIMI
 1-Gerçel sayılar
           Gerçel (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan meydana gelir. Yatay eksen üzerinde alınan gerçel  sayılar ekseninin her noktasında bir gerçel sayı vardır.(Şekil  7-1). 1; 2; 3,5; -     ;-3; -27  gibi sayılar gerçel sayılardır. 


                                                      -                           
               
                                         -4 -3  -2       -1    0         1         2               3        4         5
                                                   
                                          Şekil 7 -1 Gerçel sayılar ekseni
 2-Sanal sayılar
          Negatif gerçel sayıların kökleri sanal (imajiner , hayali) sayılardır.   Örneğin     ;     ;   ;   gibi.Eğer     değ*erini “j” sembolü  ile gösterirsek,yani, 
                                                                             J= 
Dersek ,  =j2 ;   =j      ;   =j5 olur. Şu halde sanal sayılar J sembolü ile birlikte bulunurlar. Sanal sayılar düşey eksen üzerinde gösterilir. ( (Şekil 7-2).
                   
                                                                                                       

                                                                                                         J3
                                                                                                          J2
                                                                                                         
                                                                                              J             
                                                                                                          J1

                                                                                                          0
                                                                                                          -J1     
                                                                                                J                   
                                                                                                          -J2                                                                                                                                                                                             
         
                                                                                Şekil 7 -2: Sanal sayılar ekseni

Matematikte “i” ile gösterilen sanal sayılar, elektrikte akım ile karışmaması için “j” ile gösterilir. “j” nin kuvvetlerinin aşağıdaki gibi olacağını kolaylıkla çıkarabiliriz.
                                                 J=
                                                 J  =( ) =-1
                                                 J = ( ) . =-1. =-j
                                                j =( ) .( ) =(-1).(-1)=1
1-Karmaşık sayılar
Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.Yani bir karmaşık sayının  içinde hem gerçel sayı ve hem de sanal sayı vardır.Karmaşık sayılara örnek olarak, 2+j3 ; 3-j4 ; -5+j2 ; -3-j3 sayılarını gösterebiliriz. Bu karmaşık sayılar, gerçel ve eksenin birlikte bulunduğu Şekil 7 -3 de gösterilmiştir.
                                                     Sanal sayılar ekseni
                                                         
                                                        J4 
                                                J3                  2+j3       
     -5+j2                                           J2     
                                                        J1     
                                                                                          Gerçel sayılar ekseni           
                     -5    -4   -3   -2 -1   0    1    2      3       4   5
                                                       -j1
                                                        j2       
                         -3-j3                       -j3           
                                               -j4                        3-j4
                                                        -j5       
               b               Şekil 7-3 Karmaşık sayılar
Bir sayının başlangıç noktası ile birleşmesiyle o sayı temsil ettiği vektör elde edilir. Şekil 7-4 de A gerçel sayısının, B sayısının ve C ile D karmaşık sayısının temsil ettikleri vektörler gösterilmiştir. A gerçel sayısının, sanal kısmı olmayan bir karmaşık sayı gibi düşünebiliriz. Aynı şekilde B sanal sayısını da gerçel  kısmı  olmayan bir  karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. A,B,C ve D karmaşık sayılarına A,B,C,D vektörleri de denir.

                                                   Sanal sayılar ekseni   
                                         J3       
                                         J2                    C=3+J2
        D=4+J1                     J1                     
                                                                       
                                              0           
                      -4 -3  -2  -1 –j1      1    2    3     4 Gerçel sayılar ekseni
                                         -j2   B=-J2                       
                                         -j3             
                                                       
                      Şekil 7 –4 : Sayılar temsil ettikleri vektörler         


B- KARMAŞIK SAYILARIN  GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ
Karmaşık sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bular aşağıda incelenmiştir.
1-   Dik bileşenler şeklinde gösterilişi:
Bu gösteriliş  şeklinde  karmaşık  sayı veya vektör yatay ve düşey eksen  üzerindeki izdüşümleri ile gösterilir. Bu izdüşümler vektörün birbirine dik olan birleşenidir.
                                      düşey eksen                     
                                 b                           A=a+jb       


                                                             a    yatay eksen           
                                                           
                                 
                      Şekil 7-5 Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi
                                                                                                                                                                                                                                            Şekil 7-5 deki A vektörünün yatay eksen  üzerindeki bileşeni a ve   düşey eksen üzerindeki bileşeni b olduğuna göre A vektörü,
                                                   A=a+jb
Şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b bileşeni ise sanal ekseni üzerinde bulunduğundan,sanal bir sayıdır. bunun için b bileşeni j ile birlikte gösterilir. Şekil 7 –4 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir                                                                                                                                                                                         
        Dik bileşeninden vektörün büklüğünü(mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı bulabiliriz. Şekil 7 –5  deki A vektörün büyüklüğü,
                                               A  =a          veya yatay yaptığı açı ise
                                                   
                                                 =tan
 
dır. Burada  tan        ,tanjantı a/b olan açı anlamındadır. Tan    =arctyan olaraktan ifade
edilir.
       Diğer taraftan  Cos  =(a/A) ve sin  =(b/A) olduğundan, a ve b birleşeni için,
                                          a=A. cos 
                                          b=A. sin 
yazılır. Bu ifadeler, Formül 7 –1 de yerine yazılırsa, A vektörü için,
                                    A=a+jb=A. Cos   +j. A. Sin    veya,
                                    A=A(Cos   +j sin   )                                                                                   
Elde  edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ve     da  vektörün yatay yaptığı açıdır.
     2 – Kutupsal gösteriş
     Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile gösterilir.  Şekil 7-6 da A vektörün büyüklüğü  (mutlak değeri ) A veya pozitif yatay eksenle yaptığı açı  -  olduğuna göre kutupsal gösterişi,
                                       A=A/  dir.
Bu gösterişte A ve açı işareti içindeki  -   birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmelidir. Formül 7-6 sadece bir gösteriş şeklidir.
                                           Düşey eksen                 
                                                                                  A=A   

                                                              A

                                                                                         Yatay eksen                                     
                   Şekil  7- 6: Bir vektörün kutupsa  şeklinde gösterilmesi
    Şekil 7-7 de A ,B, C, ve D vektörleri kutupsa şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin açılarının  pozitif yatay  eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz.






 


                                                  Düşey eksen                 

                                                                                   
                                       D=6                            4     
                                                     6     170          45                pozitif açılar
                  Yatay eksen                                                   5             A=5
                                                                     -60             
                                                                                                                  negatif açılar           


                                                                              C=3
                                                            Şekil 7- 7     
Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni “denir.Ayrıca saat ibresi hareketinin ters yönünde oluşan açılar  pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işareti gösterilir.
       Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri) yine Formül 7-4 den bulunur.
      3-Üstel gösteriliş:
      Bu gösteriliş şeklinde yine vektörün büyüklüğü açısı belirtilir. Şekil 7-8 deki A vektörünün  üstel şeklinde gösterilişi,
A=A e
dir. Burada e=2,718 olup, tabii (veya neper) logaritma tabanıdır.
                                              Düşey eksen     
                                                                                       
                                                                                    A=Ae

                                                                  A       

                                                                                               Yatay eksen 

                                         Şekil  7-8:Bir vektörün üstel şeklinde gösterilmesi             

     Üstel gösteriliş şeklinin basitleştirilmiş hali kutupsal gösteriliştir. Bunun için biz karmaşık sayıların veya vektörlerin üstel gösteriliş şeklini kullanmayacağız.
     C-“-1” VE “j” ÇARPANLARI
     Şekil 7-9 daki A vektörü pozitif yatay eksen (başlangıç ekseni) üzerindedir. Eğer bu A vektörünü -1 ile çarparsak, -A elde edilir ki bu vektör negatif yatay eksen üzerindedir.

                                                                      jA


                                          -A          180          90                      A                                                     
                                                        180            90             




                                                                    -jA     
                                                            Şekil 7-9



Şu halde -1 ile çarpılan vektörler 180  döndürülmüştür. Şimdi de A vektörünün j ile çarpalım. Vektör, jA olacaktır. Bu vektörde pozitif düşey eksen üzerinde bulunacağından, A vektörüne göre saat ibresi hareketini ters yönünde 90  döndürülmüştür. Eğer A vektörü –j ile çarpılırsa, -jA vektörü elde edilir ki bu vektörde negatif düşey eksen üzerindedir. Buradan da –j ile çarpılan bir vektörün saat ibresi hareketi yönünde 90  döndürüleceği anlaşılır.
     Burada -1 ve j’nin bir yönlendirici olarak yaptıkları görevi gösterdik
.
     D –KRMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
     Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık  sayının  eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A  sayının sırsıyla,
                                                A=a+ jb
                                                A  =a+ jb
dır. A=2-j3 ise, eşleniği   A   =2+j3  dür. B=-4+j2 ise eşleniği   B   =-4-j2 dır.
     Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek
bulunur. A sayısı ve bunun eşleniği olan  A     sayısı sırasıyla,
                                                A=A/
                                                A  =A/
dır. A =4/       ise, eşleniği A   =4/     dır. B=20 /    ise, eşleniği B   =20 /     dır.

    E-DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE CEVRİLMESİ
    Dik bileşenler bir vektör kutupsa şekille ve kutupsal şekildeki bir vektör de dik bileşenler şekline çevrilebilir. Dik bileşenler şeklindeki A=a+jb vektörünün, kutupsal A=A /    vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve      açının a ve b cinsinden bulunması gerekir. A büyüklüğü Formül 7-2 de ve yatayla yaptığı     açısında Formül 7-3 de verilmişti. Buradan,
                                                                                                                                                                                                               
                                                    A=a+jb=
yazılır. Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır.
       Kutupsal şekildeki A=A /           vektörü,  dik bileşenler şeklindeki
                                                 A=a+jb
Vektörüne çevirmek için,  a ve b  bileşenleri A ve    cinsinden bulunmalıdır. Formül 7-4 de a ve b bileşenleri A ve   cinsinden verilmiştir. Buradan;
                                                 A=A/ 
yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde kullanılır.
Örnek 7-1: Z=3-j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz.
Çözüm: formül 7-8 kullanarak,
                                                  Z=3-j4=
                                                    = 5/
bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır.
Örnek 7-2: Y=20/ ve U=100/   vektörünün dik bileşenler şekline çeviriniz.
Çözüm:formül 7-9 kullanarak,
                                                   Y=20/ =20.cos  +j20.sin
                                                     =17,3+j10
  ve                                                                                                                                                                                                                                 
                                                   U=100/ =100.cos(-65 )+j100.sin(-65 )
                                                     =42,2-j90,6
bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerin pozitif, sinüslerin ise negatif olduğu unutulmamalıdır.
   F – KARMAŞIK SAYILARIN DÖRT İŞLEMİ
   1-  Toplama ve çıkarma:
    Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklinde gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılmaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir.
    Dik bileşenle şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi  aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. A=a+jb ve B=c-jd ise,bunların toplamı
                                              A+B=(a+c)+j( b-d)
olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer.  Yukarıdaki   A ve B vektörlerinin farkı,                                                               
                                              A-B=(a+jb)-( c-jd)=(a-c)+j(b+d)                                                                                                                                                                                                                         
    Örnek 7-3: A=2+j5 ve B=4-j2 vektörlerin toplamını bulunuz.                                                                                                               
    Çözüm: A+B=(2+j5)+(4-j2)=(2+4)+j(5-2)                                                                                                                                               
                          =6+j3                                                                                                               
olur. Şekil 7-10 da A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörler paralel kenar yöntemi ile toplanınca yine aynı toplamın bulunacağına dikkat  ediniz.                                                                                                                       
                                                                                                                                             


                                                   J5     
                                                   
                                                   J4       
                                                   J3
                                                                 
                                                   J2     

                                                   J1   
                                                           
                                                    0      1    2  3   4  5      6     
                                                   -j1   
                                                   -j2       
                                           
                                                   şekil 7-10
    Örnek 7-4: U-=50/  ve U-=30/  olduğuna göre U   yi bulunuz.
    Çözüm: çıkarma işleminin yapıla bilmesi için  önce her birini dik bileşen şekline çevirelim.
                               U =50/ =35,35+j35,35
                               U =30/ =15+j25,98
Şimdi çıkarma işlemi,
                               U -U =(35,35+j35,35)-(15+j25,98)
                                      =35,35+j35,35-15-j25,98
                                      =20,35+j9,37
olarak elde edilir.
   2- Çarpma:
Dik bileşen şeklindeki gösterişe çarpma cebir kuralına göre yapılır.
                                A=a+jb ve B=c-jd
İse A ile B nin  çarpımı
                                A.B=(a+jb).(c-jd)=ac-jad+jbc-j bd
Ve j=-1olduğunden,
                                 A.B=(ac+bd)+j(bc-ad)
Olur.
     Kutupsal gösterişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile gerçekleştirilir. A=A/ ve  B=B/ , ise A ile B nin çarpımı,
                                      A.B=(A/ ).(B/ )=A.B/
dır.
    Örnek 7-5: I=2+j3 ve Z=4+j2 dır. I.Z yi bulunuz.
    Çözüm: I.Z=(2+j3).(4+j2)=8+j4+j12+j 6
                       =2+j16
    Örnek 7-6: U=100/ ve Y=3/  dır. U.Y yi bulunuz.
    Çözüm: U.Y=(100/ ).(3/ )=100.3/
                          =300/
    3- Bölme:
    Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir. Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. A=a+jb ve B=c-jd ise A nın Bye bölümü,

             
-
                 =

                =       

olur.
     Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların  bölme işlemi daha kolaydır. Büklükleri bölünür  ve paydanın açısı, payın açısından çıkarılır.
                                     A=A/ ve B=B/
İse A nın B ye bölümü,


                                   


    Örnek 7-7: U=36+j12 ve Z=8-j4 dür. U/Z i  bulunuz.
    Çözüm:
             
                         
                =

               =3+j3


Örnek 7-8:K=240/  ve L=20/  dır. K/L değerini bulunuz.
 Çözüm:
                 

                      =
   
         SORULAR

1-   sayıları sınıflandırarak , bunları örnekle açıklayınız.
2-   Gerçel, sanal ve komleks temsill ettikleri vektörleri şekil çizerek gösteriniz.
3-   “J” ve kuvvetlerinin değerlerini yazınız.
4-   karmaşık sayıların gösteriş şeklini bir örnekle açıklayınız.
5-   sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıyı dik bileşen ve kutupsal şekilde gösteriniz.
6-   gerçel kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıyı dik bileşen ve kutupsal şekilde gösteriniz.
7-   kutupsal şekildeki bir vektörün açısı hangi eksen dikkate alınarak ölçülür.
8-   “-1” ve ”J” nin vektörlerin  yönlendirilmesinde nasıl etkili olduklarını birer  örnekle açıklayınız.
9-    Pozitif yatay eksen üzerindeki bir vektör bir, iki, üç ve dört defa “J” ile çarpılırsa hangi eksen üzerinde bulunur.
10-   Karmaşık sayının her iki gösterilişinde de eşleniğin nasıl alınacağını birer örnekle açıklayınız.
11-   Dik bileşen şeklindeki vektörün kutupsal şekle dönüştürülmesi için gerekli formülü yazınız.
      PROMLEMLER
1-   Aşağıdaki sayıları temsil eden vektörleri koordinat üzerinde gösteriniz.
a) 2- 2j         d) 4+ j4    g) -4
b) 3+j8         e) 5+j0      h) –j5
c)5-j3         f) j6   
2- Promlem birdeki karmaşık sayıları kutupsal şekilde gösteriniz.
3- Aşağıdaki karmaşık sayıları temsil eden vektörlerin koordinat ekseni üzerinde gösterniz
a) 10/                             d) 5/
b) 25/                             e) 2/
c) 0,2/                         f) 2/
4- Problem 3 deki sayıları dik bileşenler şeklinde gösteriniz.
5- problem 1 ve 3 deki sayıların eşleniklerini yazınız..


6- Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) (5-j2)+(-3-j8)                 d) (2,83/   )-(2-j8)
b) (5-j2)-(-3-j8)                  e) (10+j1)+6-(13,45/   )
c) (-4-j6)+(2+j4)                 f) (5/  )-(4/  )
7- Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a) (2/ )(5/ )                            d) (-1-j1).(1+j1)
b) (2+j3).(-1-j3)                  e) (1/ ).(25/ ).(0,2/ )
c) (2+j0).(2+j3)                   f)  (j1,6).(2,6+j1)
8- aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
a) (5+j5)/(1—j1)                 d) (6,88/ )/(2+j1)   
b) (5-j10)/(3+j4)                 e) (7/ )/(5/ )
c)8+j12/j2                           f)1/(6+j8)
Problemlerin Cevapları

2-   a) 2,82/                          e) 5/   
b) 8,45/                          f) 6/ 
      c) 5,83/                       g) 4/
      d) 5,56/                              h) 5/

4-  a) 8,66+j5              c) 0,14-j0,14            e) 2
     b)j25                      d)-j5                         f)1-j1,73

5- problem 1 deki için,

      a) 2+j2                                   e)  5-j10 
      b)3-j8                                     f)  -j
      c)5+j3                                    g)  -4
      d)4-j4                                     h)  j
   Problem 3 deki‘ler için,

       a) 10/                           d) 5/   
       b) 25 /                           e) 2/
       c) 0,2 /                              f)  2/

6-   a) 2+j10                                d) j10
b) 8+j6                                  e) 6+j10
c)-2-j2                                   f)-4+j2

      7-   a) 10/                           d) –j2
            b)  7-j9                                  e)  5/   
            c)  6-j6                                  f)-1,6+j4,16
    8-    a) j5                                       d) 3,08/
            b) -1-j2                                  e)1,4/
            c)  6+j4                                  f) 0,1/
   KARMAŞIK SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI

GİRİŞ
Sinüsel alternatif büyüklükleri vektörle gösterilmiştir. Bunların işlemlerinde vektörel işlemlerin olduğunu biliyoruz. Karmaşık sayıların kullanılması ile vektörel işlemler, cebirsel işlemler şeklinde düşünülür. Bundan dolayı karmaşık sayılar, alternatif akım devrelerinde büyük kolaylık sağlar. Doğru akım devrelerine uygulanan bütün kural ve kanunlar aynı şekilde alternatif akım devrelerine uygulanabilir.

Dosya ektedir bu sayfa sadece tanıtım içindir. Ekteki dosyayı indirmek için üye girişi yapmalısını üyelik tamamen ücretsizdir.
KÜMELER

A                  B            





            
   A={ÇOÇUK,AY,ŞEKİL}      B={SİLİNDİR,KALP,İŞARET}

KÜME=CANLI VE CANSIZ VARLIK VE KAVRAMLARIN OLUŞTURDUĞU TOPLULUKTUR.


      Є  A             Є  B          Є  A

“AMASYA”  KELİMESİNDEKİ HARFLERİN KÜMESİNİ LİSTE YÖNTEMİ İLE GÖSTERELİM

G={A,M,S,Y}
KURAL:LİSTE  YÖNTEMİYLE  BİR    KÜMENİN   ELAMANLARI       GÖSTERİYORSAK,BİRDEN   FAZLA                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
 
BOŞ KÜME= ELEMANI OLMAYAN KÜMEDİR.
4 İLE 6 RASINDAKİ ÇİFT SAYILARIN KÜMESİNİ GÖSTERELİM

{}   Ø VEYA       ŞEKLİNDE GÖSTERİLİR.

EŞİT KÜME
İKİ KÜMENİN ELEMANLARI ARASINDA HER ELEMAN BİR ELEMANA KARŞILIK GELİRSE  BUNA BİREBİR EŞLEME DENİR.

ELEMEN VE ELEMAN SAYILARI EŞİT OLAN KÜMELERE EŞİT KÜME DENİR. B=C ŞEKLİNDE GÖSTERİLİR.

   



      
                     

B               C
























                                                                                                                                                                                                                                                                                             

EŞİT OLMAYAN (farklı)KÜME

BÜTÜN ELEMANLARI AYNI OLMAYAN KÜMELERE EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜME DENİR
 = İŞARETİ VEYA    D=E  ŞEKLİNDE YAZILIR.











   D                  E                                                                           
















DENK KÜMELER

   BİR KÜMEDEKİ HER ELEMAN DİĞER KÜMENİN BİR ELEMANI İLE EŞLENİYORSA, BÖYLE KÜMELERE DENK KÜME DENİR.




   E               F














DENK KÜMELER  “E ≡ F” BİÇİMİNDE YAZILIR.EŞİT KÜMELER DENKTİR.DENK KÜMELERİN ELEMAN SAYILARI EŞİTTİR.

   


A            B












S (A)  = 4                         S  (B)  = 4



   ELEMAN SAYISI
      
   EŞİT İŞARETİ
   
   KÜMENİN ADI

   ELEMAN SAYISI İŞARETİ
DENK OLMAYAN KÜME


      C            D











      
         S(D)  ≡ S(F)
ELEMENLARI ARASINDA BİREBİR EŞLEME YAPILAMAYAN KÜMELERE DENK  OLMAYAN KÜMELER DENİR. S(D)  ≡ S(F) ŞEKLİNDE GÖSTERİLİR.

ALT KÜME OLMA VE KAPSAMA




   
A

















“B” KÜMESİNİN BÜTÜN ELEMANLARI “A” KÜMESİNİN DE ELEMANIDIR.”B”KÜMESİNE “A” KÜMESİNİN ALT KÜMESİ DERİZ.ALT

KÜMEİŞARETİ İLE GÖSTERİLİR




B   A ŞEKLİNDE YAZILIR.(ÖRNEKTEKİ) A KÜMESİNİN BAŞKA

ELEMANLARIDA VARDIR BUNU “ A        B” ŞEKLİNDE GÖSTEREBİLİRİZ.(A KAPSAR B’Yİ)


KESİŞİM KÜMESİ

A               B








            B











   A








A={BİLGİSAYAR,YATAK,MASA,DOLAP}     
 B={BEŞİK,DOLAP}

A∩B=C={DOLAP}

AUB=C={BİLGİSAYAR,YATAK,MASA,DOLAP,BEŞİK}




















ARDIŞIK SAYILAR

TANIM:BİRBİRİNİ TAKİP EDEN SAYILARA ARDIŞIK SAYILAR DENİR.

ARDIŞIK SAYILAR KÜMESİ “S” İLE GÖSTERİLİR.
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,.........} ARDIŞIK SAYILAR
T={1,3,5,7,9,11,13,15,17,...........} ARDIŞIK TEK SAYILAR
Ç={0,2,4,6,8,10,12,14,16,...........} ARDIŞIK ÇİFT SAYILAR

ÖRNEK:  ARDIŞIK İKİ SAYININ TOPLAMI 123 TÜR. BÜYÜK VE KÜÇÜK SAYI KAÇTIR.

123-1=122:2=61 KÜÇÜK SAYI      61+1=62   62+61=123

ÖRNEK: ARDIŞIK 3 SAYININ TOPLAMI 54 DÜR KÜÇÜK SAYI KAÇTIR.

1   2      3




            1      +          2  = 3   54-3=51:3=17


17     17+1           17+2      = 54


17   18         19 = 54


ÖRNEK: ARDIŞIK 4 SAYININ TOPLAMI 70 DİR KÜÇÜK SAYI KAÇTIR.


1   2      3      4





            1    +            2   +    3      =  6

70-6=64    64:4=16


16   16+1      16+2      16+3      =


16   17      18      19      =70


70+6=76       76:4=19


19   19      19      19  =

19-3   19-2      19-1      19  =


16   17      18      19 =70

ÖRNEK: ARDIŞIK 3 TEK SAYININ TOPLAMI 45 TİR.BÜYÜK SAYI KAÇTIR.?

1   3      5




             2       +            4   = 6



45-6 =39   39:3 =13                  45+6=51   51:3=17

13   13      13  =         17      17      17   =

13   13+2      13+4   =      17-4      17-2      17   =

13   15      17   =45      13      15      17   =45

ÖRNEK: ARDIŞIK 3 ÇİFT SAYININ TOPLAMI 78 DİR. KÜÇÜK VE BÜYÜK SAYI KAÇTIR.?


2   4      6   



   
            2        +              4  =   6

78-6 =72    72:3=24

24   24+2      24+4    =
24   26      28   =78
   
78+6 = 84    84:3  =28


28-4   28-2      28  =
24   26      28 = 78
ÖRNEK: ARALARINDA ALTIŞAR FARK BULUNAN 7 DOGAL SAYININ TOPLAMI 266 DIR.BU SAYILARIN EN KÜÇÜĞÜ KAÇTIR.

1   2      3      4      5      6      7


                                                                                            6+12+18+24+30+36 =126

266-126 = 140   140:7 =20   

20   20   20   20   20   20   20 =

20   20+6   20+12   20+18      20+24      20+30      20+36 =
20  26   32       38      44      50      56    =266

ÖRNEK : 5 ARDIŞIK ÇİFT SAYININ TOPLAMI 230 DUR .EN KÜÇÜK SAYI VE ORTADAKİ SAYI KAÇTIR?

2   4      6      8      10   =




               2     +             4    +            6      +                8   = 20

230-20 =210    210   :  5  = 42

42   42+2      42+4      42+6      42+8   =
42   44      46      48      50   = 230


















A(BÖLÜNEN)   B(BÖLEN)      21      3
            
      C(BÖLÜM)            7

BXC=A

A+B=120                  7X3=21
C=7                  21+3=24


A   B
    
   7




7B+B=120
8B=120:8=15

7X15=105
105+15=120
A+B=120




16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10   10-1=9-1=8

45-16=29-1=28










A-B=C   A+B=115          C=45
A-B   =   45
A+B    =   115
2A   =160
160:2=80
A=80

80-B=45
80-45=35
B=35

Dosya ektedir bu sayfa sadece tanıtım içindir. Ekteki dosyayı indirmek için üye girişi yapmalısını üyelik tamamen ücretsizdir.
DOĞAL SAYILAR, TAMSAYILAR
1)   8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
8 . 107 + 5 . 103 + 4. 10 = 8 . 107 + 0 . 106 + 0 . 105 + 0 . 104 + 0 . 103 + 0 . 102 + 4 . 10 + 0 . 100 şeklinde yazılabilir. Öyleyse, sayı 80005040’tır.

2)   Üç ile tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
   Aranan sayı,
   A = 12 + 15 + 18 + … + 96 + 99’dur.
   A = 3 . (4 + 5 + 6 + … + 32 + 33)
       = 
       = 3 . (33 . 17 – 3 . 2) = 3 . (561 – 6)
               = 3 . 55 = 1665

3)   8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 – x = 103 ise x kaçtır?
Çözüm:
Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 5 olduğundan, A = 8 + 13 + 18 + … + 98 + 103 toplamında   terim vardır.

4)   8 tane sayının aritmetik ortalaması 15’tir. Bu sayılara 21 ve 29 katılsaydı, aritmetik ortalama kaç olurdu?
Çözüm:
Bu sekiz sayının toplamı,
8 . 15 = 120’dir.
   olur.

5)   Ardışık 6 tane doğal sayının toplamı, bu sayıların en küçüğünün 7 katına eşittir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Çözüm:
Ardışık 6 doğal sayı; x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 olsun.
x + (x + 1) + … + (x + 5) = 7x
6x + 15 = 7x  x = 15 olur.
Bu sayıların en büyüğü
x + 5 = 15 + 5 = 20’dir.

6)   Rakamları 0 ve 1’den farklı olan dört basamaklı abcd sayısının rakamlarının sayı değerleri birer azaltılırsa sayı kaç azalır?
Çözüm:
(abcd) = 2376 olsun.
Bu sayının rakamlarının sayı değerleri birer azaltılırsa sayı 1265 olur.
Fark 2376 – 1265 = 1111’dir.

7)   İki basamaklı (ab) sayısının dört katından, (ba) sayısının 3 katı çıkarıldığında fark 218 oluyor. b = 3 ise a kaçtır?
Çözüm:
(ab) = 10a + b ve (ba) = 10b + a’dır. b = 3 ise,
4 . (10a + 3) – 3(10 . 3 + a) = 218
40 . a + 12 – 90 – 3a = 218
37 . a = 296
       a = 8 olur.

   a, b, c ardışık tek sayma sayılarıdır. a . c = 357 ise b + c kaçtır?
Çözüm:
Ardışık üç tek sayı; a = x – 2, b = x, c = x + 2 olsun.
a . c = 357  (x – 2) . (x + 2) = 357
            x2 – 4 = 357
         x2 = 361 = 192
Buradan x = 19 bulunur.
Buna göre; b = 19, c = 21 ve b + c = 40 olur.

9)   Toplamları 57 olan iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 5, klan 3 oluyor. bu iki sayının çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Büyük sayı x ise, küçük sayı (57 – x) olur.
x = (57 – x) . 5 + 3 bölme eşitliğinden,
x = 48 bulunur.
57 – x = 57 – 48 = 9 dur.
Bu iki sayının çarpımı, 48 . 9 = 432 olur.

10)   



Yukarıdaki bölme işleminde a kaçtır?
   Çözüm:
   (8a5) = 8 . 102 + a . 10 + 5
   (9a) = 9 . 10 + a dır.
   8 . 102 + a . 10 + 5 = 9 . (9 . 10 + a) + 2
   bölme eşitliğinden, a = 7 bulunur.

11)   İki basamaklı ve birbirinden farklı beş tane sayma sayısının toplamı 451’dir. Bu sayıların en küçüğü en az kaç olabilir?
Çözüm:
Bu sayılardan birinin en küçük olması için, diğerlerinin en büyük olması gerekir.
Sayılardan birinin en küçük değeri x ise,
99 + 98 + 97 + 96 + x = 451  x = 61’dir.

12)   Dört basamaklı 7a3a sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre, a hangi rakamdır?
Çözüm:
(7a3a) sayısının 2 ve 3’e tam bölünmesi gerekir.
t  N+ olmak üzere,
7 + a + 3 + a = 3 . t ve a çift olmalıdır.
10 + 2a = 3 . t eşitliği a = 4 için sağlanır.

13)   1! + 2! + 3! + … + 8! + 9! Sayısının 15 ile bölünmesindeki kalan kaçtır?
Çözüm:
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 sayısının çarpanları sırasında 3 ve 5 bulunduğundan, bu sayı 15 ile tam bölünür. Aynı nedenle, 6!, 7!, 8! Ve 9! sayıları da 15 ile tam bölünür.
Buna göre, sadece 1! + 2! + 3! + 4! Toplamının 15 il bölünmesindeki kalanı bulmalıyız.
1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 = 15 . 2 + 3 sayısının 15 ile bölünmesindeki kalan 3 olur.

14)   Ardışık üç sayma sayısının karelerinin toplamı 149 olduğuna göre, bu üç sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu sayılar; x – 1, x ve x + 1 olsun.
(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 149
                 3x2 = 147
               x2 = 49
                x = 7
   Bu üç sayı; 6, 7 ve 8’dir.
6 + 7 + 8 = 21’dir.

15)   (23)5 . (31)5 + (341)5 toplamının 5 tabanında yazılışı hangisidir?
Çözüm:





(1313)5 + (341)5 = (2204)5

16)   (2a3)4 – (12a)4 = (40)5 ise, (2a3)4 + (12a)4 toplamı kaçtır?
Çözüm:
(2 . 42 + a . 4 + 3) – (1 . 42 + 2 . 4 + a) = 4 . 5 eşitliğinden, a = 3 bulunur.
(233)4 + (123)4 = (1022)4 ve
(1022)4 = 1 . 43 + 0 . 42 + 2 . 4 + 2 . 40
    = 74 olur.


17)   6 ve 7 sayılarına bölündüğünde 5 kalanını veren üç basamaklı en küçük sayma sayısının en az kaç fazlası 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
A = 6x + 5 = 7y + 5 ise, 6 ile 7’nin ekok’u 42 olduğundan;
A = 42 . t + 5’tir. A’nın en küçük üç basamaklı değeri, t = 3 için 131’dir.
131 sayısının rakamlarının toplamı 1 + 3 + 1 = 5 ve 9 – 5 = 4 olduğundan, 131’in 4 fazlası 9 ile tam bölünür.

18)   Yandaki toplama tablosuna göre a + b kaçtır?         
Çözüm:
Tabloya göre;
x + x = a,   x + y = 19,   y + y = 22,
x + z = 23 olduğundan;
y = 11, x= 8, z = 15 bulunur.
a = x + x = 8 + 8 = 16,
b = y + z = 11 + 15 = 26 ve
a + b = 16 + 26 = 42 olur.

19)   3 basamaklı abc doğal sayısı 6 ile bölünüyor.   ise bac sayısı, aşağıdakilerden hangisine tam bölünmez?
Çözüm:
(abc) sayısı 6 ile tam bölündüğünde c çifttir.   ve c çift koşulunun sağlanması için c = 2 olmalıdır. Bu durumda,
(abc) = 642 ve (bac) = 462 olur.
462 = 2 . 3 . 7 . 11 sayısının asal çarpanları arasında 22 . 3 bulunmadığından, 462 sayısı 12 ile tam bölünmez.

20)   540 . x = b2 eşitliğinde x ve b sayma sayılarıdır. bu koşula uyan b sayılarının en küçüğü kaçtır?
Çözüm:
540 = 22 . 33 . 5 tir.
22 . 33 . 5 . x = b2 eşitliğinde, x en az 3 . 5 olmalıdır. Buna göre,
22 . 33 . 5. 3 . 5 = b2
22 . 34 . 52 = b2  (2 . 32 .5)2 = b2
      b = 2 . 32 . 5 = 90 olur.

21)   12 . 50 . 9 sayısını tam bölen kaç tane sayma sayısı vardır?
Çözüm:
12 = 22 . 3, 50 = 2 . 52 ve 9 = 32 olduğundan, 12 . 50 . 9 = 23 . 52 . 33 olur.
Bu sayıyı tam bölen pozitif sayılar, sayının asal çarpanlarının üslerinin birer fazlalarının çarpımı kadardır.
(3 + 1) . (2 + 1) . (3 + 1) = 48’dir.

22)   a, m, n sayma sayılarıdır. a = 9m + 8 = 6n + 5 koşullarını sağlayan 300’den büyük en küçük a sayma sayısı kaçtır?
Çözüm:
a + 1 = 9m + 9 = 6n + 6 olduğundan, a + 1 sayısı hem 9, hem de 6 ile bölünebileceğinden 18 ile de tam bölünür. 300’den büyük ve 18’in tam katı olan ilk sayı 306 olduğundan,
a + 1 = 306  a = 305’tir.

23)   108 ve 180 sayılarının ikisini de tam bölen en büyük sayma sayısı A, ikisine de tam bölünen en küçük sayma sayısı B ise, A + B kaç olur?
Çözüm:
A sayısı, 108 ile 180’in ortak bölenlerinin en büyüğü; B sayısı, ortak katlarının en küçüğüdür.
108 = 22 . 33 ve
180 = 22 . 32 . 5 olduğundan;
A = 22 . 33 . 5 = 540, B = 22 . 32 = 36 ve
A + B = 576 olur.

24)   195 ve 501 sayıları en büyük hangi sayma sayısı ile bölünürse kalanlar sıra ile 15 ve 21 olur?
Çözüm:
195 – 15 = 180 ve 501 – 21 = 480 olduğundan; aranan sayı, 180 ve 480’i tam bölen en büyük sayma sayısıdır. Aranan sayı,
   E.B.O.B. (180; 480) = 22 . 3. 5
                   = 60’tır.

25)   



Yukarıdaki bölme işlemlerinde a, x, y sayma sayılarıdır. x ile y aralarında asal olduklarına göre a kaçtır?
Çözüm:
Verilenlere göre; a sayısı, 480 ile 900’ün E.B.O.B.’udur.
   E.B.O.B. (480; 900) = 22 . 3. 5
                     = 60’tır.

26)   -2 . (3 – 5) – [(5 – 13) : (-2) – (-2)3] işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
-2 . (2 – 5) – [(5 – 13) : (-2) – (-2)3]
= -2 . (-2) – [(-8) : (-2) – (-8)]
= 4 – [4 + 8] = -8

27)   (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 = (-1)n . 2m ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Çözüm:
(-4)5 + (-4)5 + (-4)5 + (-4)5 = (-1)n . 2m
olduğundan, n tek ve m = 12’dir.

28)   Yandaki toplama işlemine göre, b + c + a kaçtır?
Çözüm:
Verilen işleme göre,
b = 7, a = 6 ve c = 4 olmalıdır.
b + c + a = 17’dir.

29)   6 tabanında (53)6 sayısı 4 tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(53)6 = 5 . 6 + 3 = 33’tür. Yandaki ardışık bölmelere dikkat ediniz. Yuvarlak içine alınmış rakamlar ters sırada yazılırsa, 33 sayısı, 4 tabanına göre yazılmış olur. Buna göre, 33 = (201)4 olur.

30)   (123)5 sayısından büyük, (241)5 sayısından küçük olan kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm:
(123)5 < x < (241)5
(52 + 2 . 5 + 3) < x < (2 . 52 + 4 . 5 + 1)
                    38 < x < 71
Bu koşulu sağlayan 70 – 38 = 32 tane doğal sayı vardır.

31)   1001010 sayısı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
1001010 = 1 . 106 + 0 . 105 + 0 . 104 + 1 . 103 + 0 . 102 + 1 . 10 + 0 . 100
       = 106 + 103 + 10

32)   1 + 4 + 7 + 10 + … + 52 + 55 + 58 toplamı kaçtır?
Çözüm:
Toplamadaki ardışık terimlerin farkı 3 olduğundan,
A = 1 + 4 + 7 + 10 + … + 52 + 55 + 58 toplamında,
  terim vardır.





33)   (2n + + (2n + 12) + (2n + 16) + … + (2n + 40) = 18n + x ise x kaçtır?
Çözüm:
  olduğundan, toplamada 9 terim vardır.
 
Buna göre,
2n . 9 + (8 + 12 + … + 40) = 18n + x
x = 8 + 12 + … + 40 =   dır.

34)   a, b, c, d, e sayılarının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
  dir.
 
= 
         = 2 . 28 = 56’dır.

35)   5 tane ardışık tek doğal sayının toplamı 55’tir. Bu sayıların en küçüğü kaçtır?
Çözüm:
Bu sayılar,
x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4 olsun.
5x = 55  x = 11 ve x – 4 = 11 – 4 = 7 dir.

36)   3 basamaklı a3b sayısının onlar ve yüzler basamaklarındaki rakamları yer değiştirdiğinde sayının değeri 360 azalıyor. a kaçtır?
Çözüm:
(a3b) = 100a + 30 + b
(3ab) = 300 + 10a + b dir.
(100a + 30 + b) – (300 + 10a + b) = 360
             90a = 630
                 a = 7


37)   (abc) üç basamaklı bir doğal sayıdır. 10a + b = 74 ve a + c = 10 ise (bac) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
10a + b = 74 ise; (ab) = 74, a = 7 ve b = 4 tür.
a = 7 ve a + c = 10 ise, c = 3 olur.
(bac) = 473 tür.

38)   a bir sayma sayısı ve b çift sayma sayısıdır. Aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
Çözüm:
2a çift, b çift ve 5 tek sayı olduğundan;
2a + b + 5 tek sayma sayıdır.

39)   Yanda, beş basamaklı abab7 sayısının, iki basamaklı ab
sayısına bölme işlemi verilmiştir. m bölümü ile n kalanının
toplamı kaçtır?
   Çözüm:
   Soruyu, a = 1 ve b = 2 olarak çözebiliriz.




   Bölme işlemine göre,
   m = 1010, n = 7 ve m + n = 1010 + 7 = 1017 dir.

40)   Yandaki bölme işlemine göre, a aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
   Çözüm:
   a2 – 1 = (b + 1) . b + b
   a2 – 1 = b2 + 2b
         a2 = b2 + 2b + 1
         a2 = (b + 1)2
          a = b + 1 bulunur.   

41)   Her biri üç basamaklı ve birbirinden farklı dört doğal sayının toplamı 716’dır. Bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayılardan birinin en büyük olması için, diğer üçünün en küçük olması gerekir.
100 + 101 + 102 + x = 716
x = 413 bulunur.

42)   Dört basamaklı 1aa2 sayısı 12 ile tam bölündüğüne göre, bu sayının 9 ile bölümündeki kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Çözüm:
(1aa2) sayısının 12’ye tam bölünebilmesi için 4’e ve 3’e bölünmesi gerekir.
Sayının 4’e bölünebilmesi için a sayısı 1,3,5,7,9 olabilir. Sayının 3’e bölünebilmesi için a sayısı 3,6,9 olabilir. Öyleyse, sayı 1332 veya 1992 olacağından 9 ile bölümünden kalan 0 veya 3 olabilir.

43)   0! + 2! + 4! + 6! + … + 16! sayısının 56 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu toplamdaki (6!)’den sonraki terimlerin hepsinde 7 ve 8 çarpanı olduğundan, bunların hepsi, 7 . 8 = 56 ile tam bölünür. Kalan sayıların toplamı:
0! + 2! + 4! + 6! = 747 dir.




Kalan 19 dur.

44)   Ardışık üç tek sayma sayısının karelerinin toplamı 251 olduğuna göre, bu üç sayının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
Bu sayılar; x – 2, x, x + 2 olsun.
(x – 2)2 + x2 + (x + 2)2 = 251
x2 = 81  x = 9
Aranan sayılar, 7,9,11 dir.
Bu sayıların aritmetik ortalaması,
  dur.

45)   İki tabanında yazılmış üç basamaklı sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı, iki tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(111)2 + (100)2 = (1011)2

46)     ifadesi aşağıdakilerin hangisine eşittir?
Çözüm:
 
       = 
       = 
       = 100

47)   8 ile bölündüğünde 7 kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal sayı a olsun. Aşağıdakilerden hangisi 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
a = 8 . k + y sayısında; k = 12 için, a = 103 olur. 103 sayısının 9 ile bölümündeki kalan 1 + 3 = 4 tür. a2 sayısının 9 ile bölümündeki kalan, 42 = 16 sayısının 9 ile bölümündeki kalana eşittir. Bu kalan da 1 + 6 = 7 dir.
7 + 2 = 9 olduğundan, a2 + 2 sayısı 9 ile tam bölünür.

48)   Yanda 2 basamaklı (2n) ve (mn) sayılarının çarpımı
gösterilmiştir. m + a + n kaçtır?
   Çözüm:
   Çarpma işlemine göre;
   n = 3, a = 6 ve m = 4 tür.
   m + a + n = 4 + 6 + 3 = 13 olur.

49)   Üç basamaklı abc doğal sayısı 15 ile tam bölünüyor. a + b + c en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Sayı hem 5, hem de 3 ile tam bölünebildiğinde, c = 5 ve a + b + 5 = 3 . k = 21 olmalıdır.

50)   8! = 2n . 3m . 35 ise m + n kaçtır?
Çözüm:
8! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 = 27 . 32 . 5 . 7 dir.
27 . 32 . 5 . 7 = 2n . 3m . 35 ise,
n = 7 ve m = 2 dir.
m + n = 9 olur.

51)   2n . 32 . 5 = x eşitliğinde n ve x birer sayma sayısıdır. x sayısını tam bölen 30 tane doğal sayı olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
(n + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 30  n = 4

52)   x sayısı 7 ile bölündüğünde bölüm y, kalan 5’tir. y sayısı 6 ile bölündüğünde kalan 4’tür. x sayısının 42 ile bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm:
  sisteminden,
x = 7 . (6 . t + 4) + 5
x = 42 . t + 33 bulunur.
Buna göre, kalan 33 tür.

53)     kesri n ile sadeleştirildiğinde   kesri elde ediliyor. a ve b aralarında asal ise n’nin alabileceği en büyük değer kaç olur?
Çözüm:
   n = E.B.O.B. = 22 . 32 . 5
                   = 180 dir.
  olur.

54)   Boyutları 12 cm ve 20 cm olan dikdörtgensel bölgelerden en az kaç tanesi, yan yana konarak bir karesel bölge oluşturulur?
Çözüm:
12 ve 20 sayılarının E.K.O.K.’u 60 tır.
Karenin bir kenarı 60 cm olur.
  tane düzlemsel bölge.

55)   a, b, c negatif tamsayılardır.
  olduğuna göre, a’nın en büyük değeri nedir?
Çözüm:
2b = 5c    dir.
a = 3b  
        
         tir.
Buna göre,
c = 2k ise; b = 5k, a = 15k olur.
a negatif tamsayı olduğundan; a nın en büyük değeri, k = -1 için, a = 15 . (-1) = -15 tir.

56)   (-3)2 + (-3) + (-5-2) : (-1) işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
(-3)2 + (-3) + (-5-2) : (-1) = 9 – 3 + (-7) : (-1)
               = 9 – 3 + 7 = 13


57)   a ve b birer tamsayıdır.  < 5 ve -3  b < 2 olduğuna göre, 2a – b’nin en büyük değeri ne olur?
Çözüm:
 < 5  -5 < a < 5 tir.
-5 < a < 5 ve -3  b < 2 olduğundan;
2a – b’nin en büyük olması için, a’nın en büyük ve b’nin en küçük olması gerekir.
a = 4 ve b = -3 alınarak
2a – b = 2 . 4 – (-3) = 11 bulunur.

58)   Yandaki çarpma işleminde çarpım (sonuç) kaçtır?
Çözüm:
332 sayısı 4’e bölünürse, 1. çarpan bulunur.
332 : 4 = 83 olduğundan,
çarpım (sonuç) 83 x 47 = 3901 dir.

59)   a tabanında (68) biçiminde yazılan bir sayı, 2a tabanında nasıl yazılır?
Çözüm:
(68)a = 6a + 8
         = 3 . (2a) + 8 = (38)2a
Not:
a yerine herhangi bir sayı seçilerek problem çözülebilir. Örneğin a = 10 olsun.
(68)10 = (?)20 olur. Yandaki bölmeden, (68)10 = (38)20 olur.

60)   Değişik tabanlara göre yazılmış aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile tam bölünür?
Çözüm:
Seçenekler denenirse,
(231)4 = 1 + 3 . 4 + 2 . 42 = 45 sayısının 3 ile tam bölündüğü görülür.

61)   A = 6 . 105 + 2 . 102 + 3,   B = 87532 olduğuna göre, A + B kaç olur?
Çözüm:
A = 6 . 105 + 2 . 102 + 3 = 600203 ve
B = 87532 olduğundan,    A + B = 687735 tir.
62)   12 + 17 + 22 + … + 47 + 52 = x ise,   neye eşittir?
Çözüm:
Toplanan terimlerin sayısı,
  dur.



  tür.

63)   K = {x : x = 3n + 2, 1  n  7, n  N} kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Terim sayısı 7 dir.
K kümesinin elemanlarının toplamı,




64)   a , b , c, d sayılarının aritmetik ortalaması 12’dir. b, c, d sayılarının aritmetik ortalaması ise 14’tür. Buna göre a + b, a + c, a + d sayılarının aritmetik ortalaması kaç olur?
Çözüm:
   a + b + c + d = 48,
   b + c + d = 42 dir.
Bu iki eşitlikten a = 48 – 42 = 6 bulunur.
 
               =   dir.


65)   Ardışık n tane çift sayının en büyüğü, en küçüğünden 12 fazladır. n kaçtır?
Çözüm:
n tane ardışık çift sayı,
x, x + 2, x + 4, …, x + 2 (n – 1) olsun.
[x + 2(n – 1) – x = 12  n = 7 dir.

66)   Üç basamaklı abc doğal sayısının birler ve yüzler basamaklarındaki rakamlar yer değiştirince sayı 693 azalıyor. a + c = 9 ise, a kaçtır?
Çözüm:
(abc) = 100a + 10b + c,
(cba) = 100c + 10b + a dır.
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 693
                 99(a – c) = 693
               a – c = 7 dir.
   a = 8 dir.

67)   Üç basamaklı (ab1) doğal sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen tüm doğal sayılar (ab1 dahil) toplanıyor. Toplam 2220 olduğuna göre a + b kaçtır?
Çözüm:




            

            ise,
200a + 200b + 200 + 20a + 20b + 20 + 2a + 2b + 2 = 2220
222(a + b) = 2220 – 222
         a + b = 9 dur.


68)     eşitliğinde A, B, C birer doğal sayıdır. B < C ve B ile C aralarında asal olduğuna göre, A + B + C kaç olur?
Çözüm:

         olduğundan,

  eşitliği yazılır.
Buna göre,
  olur.
A = 100, B = 1, C = 101 ve A + B + C = 202 olur.

69)   Yandaki çıkarma işleminde A + B + C = 42 ise A kaçtır?
Çözüm:
  ise, A = B + C dir.
A + B + C = 42 ise, 2A = 42 ve A = 21 olur.

70)   



Yukarıdaki bölme işlemlerine göre x kaçtır?
   Çözüm:
      x – 2 = 47 – 7
              x = 42 dir.
   

71)   Ardışık üç tane tek sayma sayısı ile birbirinden farklı üç tane çift sayma sayısının toplamı 61’dir. Bu çift sayıların en büyüğü en fazla kaç olur?
Çözüm:
Bu sayılardan; tek olanlar 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5; çift olanlar 2t, 2m, 2k olsun. 2k sayısının en büyük olması için, diğer sayılar en küçük olmalıdır. Öyleyse, diğer sayılar; 1, 3, 5, 2, 4 tür.
1 + 3 + 5 + 2 + 4 + 2k = 61 ise,
2k = 46 olur.

72)   Beş basamaklı 1a13b sayısı 6 ile tam bölünüyor. b > a ise a . b en fazla kaç olur?
Çözüm:
6 ile bölünebilen bu sayı 2 ve 3 ile bölünebilir. b en büyük 8 olur.
1a138 sayısının 3 ile bölünebilmesi için,
1 + a + 1 + 3 + 8 = a + 13 toplamının 3 ile bölünebilmesi gerekir. a < 8 olacağından, a en fazla 5 ve a . b en fazla, 5 . 8 = 40 olur.

73)   (6! + 7) . (5! + 6) çarpımının 9 ile bölümündeki kalan nedir?
Çözüm:
5! = 120, (5! + 6) = 126 sayısı 9 ile tam bölünür.
Buna göre, (6! + 7) . (5! + 6) çarpımı 9 ile bölünür (kalan 0 dır).

74)   a sayısının 5 ile bölümündeki kalan 2’dir. 20 < a < 69 olduğuna göre, a değerlerinin toplamı kaç olur?
Çözüm:
İstenen toplam,
A = 22 + 27 + 32 + … + 52 + 57 dir.
Bu toplantıda
  terim vardır.





75)   (xyz)5 sayısının yüzde sekseni (301)5 olduğuna göre, (xyz)5 sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
 
 
Yandaki ardışık bölme işlemlerine göre,
95 = (xyz)5 = (340)5 olur.

76)   (100)2 ve (1001)2 sayılarının geometrik ortalaması aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
a = (100)2 = 4,
b = (1001)2 = 9
  dir.

77)   Bir sayma 24 ile bölümündeki kalan 17 ise bu sayının 8 ile bölünmesindeki kalan ne olur?
Çözüm:
a = 24 . x + 17 =  8 . 3x + 8 . 2 + 1 dir.
a = 8 . (3x + 2) + 1 olduğundan, sayının 8 ile bölümünden kalan 1 dir.

78)   Yandaki çarpım tablosuna göre b2 + c2 kaç olur?
Çözüm:
a2 = 16  a = 4
a . b = 24  b = 6
b . c = 54  c = 9 olur.
b2 + c2 = 62 + 92 = 117 dir.

79)   aab ve aba üç basamaklı doğal sayılardır. aab – aba = 27 ve a + b = 9 ise b kaçtır?
Çözüm:
aab = 110a + b,
aba = 101a + 10b dir.
110 + b – (101a + 10b) = 27
9(a – b) = 27  a – b = 3 olur.
   b = 3 tür.

80)   810 = a3 . b eşitliğinde a ve b birer doğal sayıdır. a > 1 olduğuna göre a + b kaç olur?
Çözüm:
810 = 34 . 2 . 5 = 33 . 30 = a3 . b
Buna göre; a = 3, b = 30,
a + b = 33 tür.

81)   63 . 22 sayısını tam bölen kaç tane sayma sayısı vardır?
Çözüm:
63. 22 = 23 . 33 . 22 = 25 . 33 tür.
Bölenlerin sayısı,
(5 + 1) . (3 + 1) = 24 tür.

82)   



Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, A’nın 10 ile bölümündeki kalan kaç olur?
   Çözüm:
   A = 8 . B + 7, B = 5 . x + 4 olduğundan;
   A = 8 . (5 . x + 4) + 7 = 40x + 39
            = 10(4x + 3) + 9 olur.
   Buna göre, A’nın 10 ile bölümünden kalan 9 dur.

83)   Ali ilacını 10 saatte bir, Veli ise 16 saatte bir içiyor. Salı günü saat 15:00’te birlikte ilaç içtiklerine göre, hangi gün ve hangi saatte ilk defa birlikte ilaç içerler?
Çözüm:
10 ile 16’nın E.K.O.K.’u 80 dir. bir gün, 24 saat olduğundan; yandaki bölme işlemin göre, 3 gün 8 saat sonra, Cuma günü 23:00’te yine birlikte ilaç içerler.
84)   Boyutları 5 cm, 12 cm ve 30 cm olan tuğlalar aynı biçimde yan yana, art arda ve üst üste konarak bir küp yapılmak isteniyor. En az kaç tuğla ile bu küp yapılabilir?
Çözüm:
5, 12, 30 sayılarının E.K.O.K.’u 60 olduğundan oluşacak küpün bir kenarı 60 cm olur. Küpün hacmi 60 . 60 . 60 cm3 olduğundan,
  tane tuğla kullanılır.

85)   a, b ve c negatif tamsayılardır.   ise, b + c’nin en büyük değeri ne olur?
Çözüm:
  eşitliğinde,  c’nin negatif tam sayı olması için a = -1 veya a = -5 olmalıdır.
a = -1 için, c = -5 ve b = -20;
a = -5 içinde, c = -1 ve b = -4 olur.
b + c en büyük değeri, (-4) + (-1) = -5 olur.

86)   (-2)3  x < (-2)4 koşulunu sağlayan kaç tane x tamsayısı vardır?
Çözüm:
(-2)3  x < (-2)4 ise, -8  x < 16
-8  x  15 tir. Bu koşulu sağlayan 24 tane tam sayı vardır.

87)   (21)5 – [(30)5 – (42)5 : (21)5] işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Verilen sayıları 10’luk sisteme çevirirsek,
11 – [15 – 22 : 11] = 11 – [15 – 2]
             = 11 – 13 = -2 bulunur.

88)   Yandaki bölme işlemine göre, bölünen sayı kaçtır?
Çözüm:
Bölünen sayı A, bölen B olsun. Verilen işlemde; 8 . B = 200
olduğundan, B = 25 tir.
A = 48 . B + 19 = 48 . 25 + 19  A = 1219 olur.
89)   (321)5 + (224)5 toplamının 10 tabanında yazılışı aşağıdakilerin hangisidir?
Çözüm:
(321)5 = 1 + 2 . 5 + 3 . 52 = 86,
(224)5 = 4 + 2 . 5 + 2 . 52 = 64,
86 + 64 = 150

90)   (2443)6 sayısının 36’ya bölümündeki kalan nedir?
Çözüm:
36 = (100)6 dır.
(2443)6 = (100)6 . (24)6 + (43)6 olduğundan, (2443)6 sayısının (100)6 = 36 sayısına bölümündeki kalan (43)6 dır.

91)   45 + 2 . 43 + 3 . 4 + 1 sayısının 4 tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
45 + 2 . 43 + 3 . 4 + 1 = 1 . 45 + 0 . 44 + 2 . 43 + 3 . 4 + 1
                 = (102031)4

92)   23 + 215 : 45 – [8 – 1282 : 642] ifadesi aşağıdakilerin hangisine eşittir?
Çözüm:
23 + 215 : 45 – [8 – 1282 : 642]
= 23 + 215 : 210 – [8 – 1282 : 642]
= 23 + 25 – [23 – 22] = 25 + 22 = 32 + 4 = 36

93)   1 . 3 + 2 . 4 + 3 . 5 + … + 15 . 17 = T ise, 2 . 3 + 3 . 4 + 4. 5 + … + 16 . 17 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm:
S = 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + … + 16 . 17 ve
T = 1 . 3 + 2 . 4 + 3 . 5 + … + 15 . 17 eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa,
S – T = (2 – 1) . 3 + (3 – 2) . 4 + (4 – 3) . 5 + … + (16 – 15) . 17
S – T = 3 + 4 + 5 + … + 17 (15 terim)
S – T = 
S = T = 150 olur.
94)   a, b, c sayılarının aritmetik ortalaması 8’dir. a – b, a – c sayılarının aritmetik ortalaması 9 ise a kaçtır?
Çözüm:
   a + b + c = 24
             b + c = 24 – a
   2a – b (b + c) = 18
2a – (24 – a) = 18
        3a = 42
          a = 14

95)   Ardışık n tane tek sayının en büyüğü, en küçüğünden 14 fazladır. Bu sayıların en küçüğü 9 ise, toplamları kaç olur?
Çözüm:
En küçük sayı 9 ise, en büyük sayı 9 + 14 = 23 olur.
Bu n = 8 sayısının toplamı,




96)   Üç basamaklı (abc), (bca), (cab) sayılarının aritmetik ortalaması 370 olduğuna göre,       a + b + c kaçtır?
Çözüm:
(abc) = 100a + 10b + c
(bca) = 100b + 10c + a
(cab) = 100c + 10a + b
 
100(a + b + c) + 10(a + b + c) + (a + b + c) = 1110
111(a + b + c) = 1110
                    a + b + c = 10

97)   (abc) üç basamaklı bir doğal sayıdır. a, b, c’nin aritmetik ortalaması 4 olduğuna göre, (abc) + (bca) + (cab) toplamı kaç olur?
Çözüm:
   a + b + c = 12 dir.
(abc) + (bca) + (cab) = 
                = 1332

98)   n bir doğal sayıdır. Aşağıdakilerden hangisi bir çift sayıdır?
Çözüm:
n = 0 alınarak kolay bir çözüm yapılabilir. n = 0 için, n2 + n + 6 = 6 çift sayıdır.

99)   Yandaki toplama işlemine göre, a . b çarpımı kaç olur?
Çözüm:
Birler basamaklarının toplamı göz önüne alındığında        a = 7 koyarak yeniden yazalım.
Onlar basamaklarının toplanmasından (elde 1 de dikkate alınarak),
b + 3 + 7 + 1 = 17  b = 6 olur.
Buna göre a . b = 7 . 6 = 42 dir.

100)   Yandaki bölme işlemine göre, m kaçtır?
Çözüm:
Bölme eşitliğinde göre,
5 . m + 124 = 9m + 4
     4m = 120
       m = 30 dur.

101)   İki basamaklı 4 doğal sayının aritmetik ortalaması 18’dir. Bu sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
Bu sayılardan birinin en büyük olabilmesi için, öbür üçünün en küçük olması gerekir.
Bunlar 10 . 10 . 10 olsun.    3 . 10 + x = 4 . 18  x = 42 olur.
102)   b  2 olmak üzere, dört basamaklı abba doğal sayısı hem 5 hem de 3 ile bölündüğünde kalan 2’dir. Buna uygun yazılabilen abba sayılarının en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark kaç olur?
Çözüm:
abba sayısı 5’e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa, a = 2 veya a = 7 olabilir. En büyük 7bb7 sayısı 3’e bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa b; 0, 3, 6 yada 9 olabilir. Öyleyse, en büyük abba sayısı 7997 dir. a = 2 için, en küçük 2bb2 sayısında b; 2, 5, 8 olabilir.        b  2 olduğundan, en küçük abba sayısı 2552 dir.
7997 – 2552 = 5445 olur.

103)   3! < x < 5! koşulunu sağlayan x doğal sayılarından kaç tanesi 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
3! < x < 5!
6 < x < 120  6 < 9 . k < 120
       9  9k  117
       1  k  13
Buna göre, x doğal sayılarından 13 tanesi 9 ile tam bölünür.

104)   7408 sayısının rakamlarının yerlerini değiştirerek yazılabilecek en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark kaçtır?
Çözüm:
8740 – 4078 = 4662 dir.

105)   Üçlük sayma düzeninde 4 basamaklı kaç tane doğal sayı vardır?
Çözüm:
Üçlük sayma düzeninde dört basamaklı en küçük sayı, (1000)3 = 1 . 33 = 27; en büyük sayı, (2222)3 = 2 . 33 + 2 . 32 + 2 . 3 = 80 dir.
80 – 26 = 54 sayı vardır.

106)   (23)4 < x  (113)4 koşulunu sağlayan x doğal sayılarının toplamı, aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
(23)4 < x  (113)4  11 < x  23 tür. bu koşulu sağlayan 12 doğal sayının toplamı,
T = 12 + 13 + … + 22 + 23 = 
                  = 276 – 66
                  = 210 dur.

107)   150’den fazla bilyesi olan bir çocuk, bilyelerini dörder dörder saydığında 1 bilye, altışar altışar saydığında 3 bilye artıyor. Bu çocuğun en az kaç bilyesi olabilir?
Çözüm:
Bilyelerin sayısı B olsun.
B = 4x + 1 = 6y + 3 tür.
B + 3 = 4x + 4 = 6y + 6 sayısı hem 4, hem de 6 ile tam bölünür.
E.K.O.K. (4,6) = 12 olduğundan, B + 3 sayısı 12 yada 12’nin katı olmalıdır. B > 150 olduğundan, B + 3 > 153 tür. 12’nin 150’den büyük katı 156 dır.
B + 3 = 156  B = 153 tür.

108)   Yandaki tablonun her satırında, her sütununda, her
köşegeninde bulunan üçer sayının toplamları aynı ve
48’dir. buna göre x + y  kaçtır?
   Çözüm:
   Verilenler yardımıyla aşağıdakiler bulunur.
a = 48 – (10 + 20) = 18,
x = 48 – (16 + a)
x = 48 – (16 + 18) = 14,
b = 48 – (x + 10)
b = 48 – (14 + 10) = 24,
y = 48 – (b + 16)
y = 48 – (24 + 16) = 8
x + y = 14 + 8 = 22 dir.

109)   a, b, c rakamlarının sayı değerlerinin aritmetik ortalaması 5’tir. Üç basamaklı abc ve acb sayıları için abc + acb toplamı en az kaç olur?
Çözüm:
   a + b + c = 15
abc + acb toplamının en küçük olması için,
a = 1 ve b + c = 14 olmalıdır.
1bc + 1ac = (100 + 10b + c) + (100 + 10c + b)
        = 
        = 200 + 154
        = 354 olur.

110)   108 . x = y4 eşitliğinde x ve y sayma sayılarıdır. x + y en az kaç olur?
Çözüm:
108 = 22 . 33 olduğundan,
22 . 33 . x = y4 eşitliğinde x, en az,
x = 22 . 3 = 12 olmalıdır.
22 . 33 . 22 . 3 = y4
   (2 . 3)4 = y4  y = 2 . 3 = 6
ve x + y = 12 + 6 = 18 olur.

111)   10n . 3 sayısını tam bölen 72 tane sayma sayısı olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
10n . 3 = 2n . 5n . 31 olduğundan; bölenlerinin sayısı,
(n + 1) . (n + 1 ) . (1 + 1) = 72
          (n + 1)2 = 36
                 n + 1 = 6
                   n = 5 tir.

112)   a, b, c çift sayma sayılarıdır. a + b = 42 ve a – c = 6 ise b’nin alabileceği en büyük değer kaç olur?
Çözüm:
b’nin en büyük değeri alması için a’nın en küçük olması gerekir.
a – c = 6  a = c + 6 olduğundan; c = 2 için,
a’nın en küçük değeri 8 olur.
a + b = 42
8 + b = 42  b = 34 tür.

113)   4, 6 ve 15 ile tam bölünebilen üç basamaklı en büyük doğal sayı a olsun. a’nın en az kaç fazlası 9 ile tam bölünür?
Çözüm:
Aranan sayı 4, 6 ve 15’in E.K.O.K.’unun k katıdır.
Aranan sayı E.K.O.K. (4; 6; 15) . k = 60 . k dir.
k = 16 için, 60 . k = 960 olur. 960’ın 3 fazlası olan, 960 + 3 = 963 sayısı 9’a tam bölünür.

114)   Bir deponun boyutları 72 dm, 48 dm ve 36 dm’dir. Bu deponun içine, hiç boşluk kalmayacak biçimde küp şeklinde sandıklar yerleştiriliyor. En az kaç sandık yerleştirilebilir?
Çözüm:
72, 48 ve 36’nın E.B.O.B.’u 12 dir. Öyleyse, yerleştirilecek küplerden birinin hacmi,
(12 . 12 . 12) cm3 tür. Depoya,
  sandık yerleştirilebilir.

115)   a, b, c negatif tamsayılardır.
  ise, a3 + b3 + c3
ifadesinin en küçük değeri nedir?
   Çözüm:
     veya 
   olur. a3 + b3 + c3 ifadesi, c = -1, b = -3, a = -6 için en küçük değeri alır. Bu değer,
   a3 + b3 + c3 = (-6)3 + (-3)3 + (-1)3 = -244 olur.

116)   (-3)2 – ((-13 + 5) : (2) -1)2 işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
9 – ((-8) : (2) – 1)2 = 9 – (-4 – 1)2
             = 9 – 25 =  -16 


117)   [-(12)3]3 + [-(201)3]2 işleminin sonucu, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm:
[-(12)3]3 + [-(201)3]2 = [-5]3 + [-19]2
                 = -125 + 361
                 = 236

118)   Yandaki çarpma işlemine göre, A + C kaçtır?
Çözüm: