BÖLÜM.1. ELEKTROMAGNETİK ALANLAR
1.1. Giriş
Elektriksel ve magnetik alanların varlığı, 19.Yüzyılın ortalarında bilinmekteydi. Bu bilgiler matematiksel değildi. Faraday’ın ortaya attığı elektriksel alana ve magnetik alana ait iddialara şüphe ile bakılmaktaydı. Faraday elektriksel ve magnetik alanların fiziksel bir gerçek olduğunu idrak etti ve Maxwell’de bu fiziksel gerçeklerin matematiksel ifadelerini verdi. Bu ifadeler Maxwell denklemleri olarak bilinmektedir. Bu denklemler, herhangi bir noktadaki elektriksel ve magnetik alanlar arasındaki bağıntıyı, o noktanın konumuna ve zamana bağlı olarak açıklamaktadır.
1.2. Elektrik Alan, Magnetik Alan Ve Özellikleri
Tüm alanlar için iki ortak özellik vardır.Bunlar;
1. Makroskopik alanlar, Maxwell denklemlerini sağlarlar.Lineer bir ortamda alanların her bir ayrı ayrı Maxwell denklemlerini sağlıyorsa bu alanlar, birlikte de Maxwell denklemlerini sağlarlar. Çünkü Maxwell denklemleri lineerdir. Sözü edilen bu iki alanın toplamı, sınır şartlarını gerçekler.
2. Sınırlı bir bölgede Maxwell denklemlerinin tek çözümü vardır. Ve bu çözüm sınır şartlarına sağlar. Zamana bağlı durumda ise tek çözüm elde etmek için aşağıdaki bilgilere ihtiyaç vardır.
a) Elektrik ve magnetik alan vektörlerinin söz konusu bölgede başlangıç değerleri,
b) Herhangi bir t ≥ 0 zamanında, elektrik ve magnetik alan vektörlerinin arakesit üzerindeki teğetsel değerleri,
Eğer bölge lineer ve izotropik ise, Maxwell denklemleri tek çözüm verir.
1.2.1. Elektrik Alan.
Bir Q test yükünden uzaklıklarda bulunan q1, q2, ………, qn yüklerinin Q yüküne uyguladıkları toplam kuvvet, toplanabilirlik ilkesine göre,
(1.1)
veya
(1.2)
olur. Burada
(1.3)
vektörü qi yüklerinin elektrik alanı olur. Elektrik alan, hesaplanan P = (x,y,z) konumunun bir fonksiyonudur, çünkü vektörleri P’ye bağlıdır (Şekil 1.1).
Şekil (1.1) (x,y,z) koordinatlarında q1, q2, …… yüklerinin Ri kadar uzaktaki P noktasındaki oluşturdukları elektrik alan.
Denklem (1.3)’deki elektrik alan tanımı noktasal yükler içindir. Uygulamada genellikle bir bölgede sürekli dağılmış yüklerle karşılaşırız.
Bir eğri üzerinde dağılmış yükün boyca yoğunluğunu ile; bir yüzey üzerine dağılmış yükün yüzeysel yük yoğunluğunu ile; ve bir hacim içine dağılmış yükün hacimsel yük yoğunluğunu ile göstereceğiz.
Şekil 1.2. Noktasal, eğrisel, yüzeysel ve hacimsel yük yoğunlukları
Bir eğri üzerinde dağılmış yükün elektrik alanı:
(1.4)
Yüzey yük dağılımının elektrik alanı:
(1.5)
Hacimsel yük dağılımının elektrik alanı:
(1.6)
Zamanla değişmeyen alanlar statik alanlardır. Elektrostatik alanın önemli özellikleri:
1. Sıfır olmayan tek vektörleri dir.
2. Korunumludurlar.
3. İletkenler, iç elektrostatik alana sahip değildir.
1.2.2. Magnetik Alan
Durgun bir yük sadece elektrik alanı oluşturuyordu; hareketli yük, elektrik alana ek olarak birde magnetik alanı oluşturur. Şekil 1.3’deki kuvvet bir vektörel çarpımla temsil edilebilir. Bir magnetik alanında hızıyla hareket eden bir Q yüküne etkiyen magnetik kuvvet şöyledir:
(1.7)
Şekil (1.3) alanında v hızıyla hareket eden Q yüküne etkiyen kuvvet
Kararlı bir akım geçen telin magnetik alanı Biot – Savart yasası ile verilir.
(1.
İntegral tel boyunca ve akım yönünde gidilerek alınır; d küçük bir tel uzunluğudur. Her zaman olduğu gibi , akım parçasından p noktasına çizilen vektördür. µ0 sabiti boşluğun magnetik geçirgenliği adını alır ve MKS sistemindeki değeri;
µ0 = 4 x 10-7 N / A2
olur. Bu seçim sonucu magnetik alanı Newton / amper-metre veya tesb (T) biriminde çıkar.
Herhangi bir yüzeyden geçen akım için Biot - Savart ifadesi şöyle olur:
da (1.9)
Herhangi bir hacimde olan akım için Biot - Savart ifadesi şöyle olur:
Saf bir statik akımın dağıldığı bölge elektrik alan şiddetinin göz önüne alınmayacağı yeterlikte yüksek iletkenlikli malzeme ise, bu alana magnetostatik alan denir. Magnetostatik alanın özellikleri :
1. ve vektörleri sıfır olmaz.
2. Korunumlu olmayıp, ancak soleneidaldırlar. Statik elektrik ve magnetik alanlar birbirine bağımlı değildirler. Yani biri diğerinden tamamen bağımsız olarak bulunur.
1.3. Elektromagnetik Alanın Kaynağı
Elektrik yükü, uzunluk ve zaman gibi temel bir büyüklüktür.Yani diğer büyüklükler cinsinden tanımlanamaz.Yükler durağan veya hareketli olsun, diğer yükler üzerine kuvvet uygularlar. Bu kuvvetlerin oluşturduğu alanlara da elektromagnetik alanlar denir.
Alanların esas sınıflandırılması, zaman bağımlı olup olmamalarına göre yapılır. Zamanla değişmeyen alanlara statik alan, zamanla değişen alanlara da dinamik alan denir. Eğer bir malzeme; içerisindeki elektrik alanı ihmal edilmeyecek derecede düşük iletkenliğe sahipse, böyle bir malzemeden akan akımlar, zamandan bağımsız alan kaynaklarından beslemiyorlarsa oluşan alanlar elektromagnestatik alanlar olarak tanımlanır. Bu tür alanların genel özellikleri şöyledir.:
1. Her bir alan vektörü sıfırdan farklıdır.
2. Elektrik alanı elektrostatik, magnetik alan magnetostatiktir. Ancak bu iki alan J=J(E) ilişkisine göre birbirine bağlanırlar.
3. İletken malzemelerdeki elektrik alanları, statik yük dağılımlarına yol açarlar. Bu yükler iletken malzemelerin yüzeylerinde toplanır ve elektrostatik alanların kaynaklarını oluştururlar.
4. Elektromagnetostatik alan analizinde; genellikle önce elektrostatik bulunur. Daha sonrada J=J(E) ilişkisinden hareketle akım yoğunluğu vektörü elde edilir. Ve buradan faydalanarak magnetostatik alan bulunur.
1.4. Magnetostatik ve Elektrostatiğin Karşılaştırılması
Elektrostatik alanın diverjans ve rotasyoneli şöyledir:
(Gauss Yasası) (1.
(1.9)
Bu iki bağıntı elektrostatiğin Maxwell denklemleridir (Maxwell denklemlerini bölüm 1.5’de daha ayrıntılı olarak inceleyeceğiz). yük yoğunluğu verilmişse yüklerden çok uzakta 0 koşulunu da kullanarak, iki denklemden elektrik alan bulunabilir. Bu iki denklem, Coulomb Yasası ve toplanabilirlik ilkesine eşdeğer olurlar.
Magnetostatik alanın diverjans ve rotasyoneli şöyledir.
(1.10)
(Ampere Yasası) (1.11)
Bunlar da magnetostatiğin Maxwell denklemleri olurlar. Yine, akımları çok uzakta 0 koşuluyla birlikte, iki denklem magnetik alanı bulmaya yeterlidir. Biot – Savart yasasındaki bilgiye eşdeğerdirler. Maxwell denklemleri;
(1.12)
olan Lorentz kuvvetiyle birlikte elektrostatik ve magnetostatiğin temel yasalarını en güzel şekilde ifade ederler.
Şekil (1.4) (a) Noktasal yükün elektrik alanı (b) sonsuz telin magnetik alanı
Elektrik alan çizgileri pozitif yükten raksar; magnetik alan çizgileri akım çevresinde dolanır (Şekil 1.4). Elektrik alan çizgileri pozitif yükten başlar, negatif yükte biter; magnetik alan çizgileri hiçbir yerden başlamaz veya bitmez; ya kapalı bir eğri oluşturur ya da sonsuza giderler. Başka bir deyişle, alanının tersine alanı için noktasal bir kaynak yoktur. ifadesinin fiziksel anlamı elektrik yükün magnetik karşılığı olmalıdır. Ancak magnetik monopol denilen magnetik yükün varlığı deneysel bir araştırma konusudur. Eğer doğada magnetik monopol var ise, henüz bulunamadığına göre sayıca az olmalıdır; aslında yeni parçacık fiziği teorilerine göre var olması gerekir.
O halde,hareket eden bir yük magnetik alan oluşturabilir ve bundan etkilenen diğer yük de hareketli olmalıdır.Kaynak yük hareketsiz ise ve test yükü harekesiz ise , Lorentz kuvveti şeklinde basitleştirilir.
Tipik olarak elektriksel kuvvetler magnetik kuvvetlerden daha büyük mertebede olurlar.Bunu teoriye bakarak göremezsiniz, evrensel 0 ve µ0 sabitlerinin büyüklükleri bundan sorumludur. Ancak yüklerin hızı ışık hızına yaklaştığında magnetik kuvvetler elektrik kuvvetlerle aynı mertebede olurlar.Buna rağmen magnetik etkileri görebiliyoruz. Çünkü hem Biot-Savart yasasında hem de Lorentz kuvvetinde esas olan akımdır. Hızlar küçük olsa da, telden geçen yük miktarı o kadar büyüktür ki hızın küçük oluşunu karşılar. Yükün fazla oluşu büyük bir elektrik alan oluşturabilirdi, ama telde eşit ve zıt miktarda pozitif yük bulundurarak telin nötr olmasını sağlarsak, elektrik alan oluşmaz ve magnetik alan tek başına gözlenir. Bu fazla karmaşık gelse de günlük yaşamda akım geçen tellerde olan biten budur.
1.5.Maxwell Denklemleri
Bir ∆v hacminde bulunan pozitif ve negatif yüklerin toplamı (net yük), ∆q ise uzayın bir p noktası civarındaki hacimsel yük yoğunluğu ∆v hacminin δ hacmine kadar küçülmesi durumunu dikkate alarak
(1.13)
şeklinde tanımlanır. Hacimdeki net yük
Q = v v dv (1.14)
formülü ile ifade edilir. Skaler bir nicelik olan akım şiddeti
da (1.15)
şeklinde ile gösterilen akım yoğunluğu vektörünün, yüzeye dik bileşeninin yüzey üzerinden integrali ile tanımlanabilir. Burada,
da = yüzey elemanı
= yüzey elemanına dik birim vektörü
I = yüzeyden geçen net akımı
= akım yoğunluğu (A/m2)
olarak tanımlanmaktadır.
Elektromagnetik (E.M) alan hareketli veya hareketsiz elektriksel yükler arasında etkileşmenin iletimi olarak tanımlandığı gibi vektörlerinin bir tanım cümlesi olarak da tarif edilebilir. Burada,
= elektrik alan şiddeti ( v/m)
= magnetik akı yoğunluğu (Wb/m2)
= elektrik akı yoğunluğu (yer değiştirme vektörü) (C/m2)
= magnetik alan şiddeti ( A/m)
olarak tanımlanmıştır. Elektrik yüklerinin e.m alanın kaynağı olması nedeniyle alan vektörleriyle ilişkisi vardır. Bu ilişki ondokuzuncu yüzyılda Maxwell isimli fizikçi tarafından Maxwell denklemleri ile ortaya çıkarılmıştır. Maxwell denklemlerinin integral formu;
Faraday kanunu:
da (1.16)
Amper Çevre Kanunu:
(1.17)
Magnetik alan için Gauss Kanunu:
(1.18)
Elektrik alan için Gauss Kanunu:
(1.19)
formülleriyle ifade edilir. Bu bağıntılardaki arasındaki ilişki ortam özelliklerine bağlı olup,
(1.20)
şeklinde tanımlanır.
Faraday İndüksiyon Kanunu; kapalı bir c eğrisi boyunca vektör alanın integrali, c eğrisinin sınırlandırmış olduğu S yüzeyinden geçen B vektör alanının toplamına eşittir şeklinde tanımlanabilir.
Genelleştirilmiş Ampere Çevre Kanunu; magnetik alanının c eğrisi boyunca integralinin iletim ve deplasman akımları toplamına eşit olduğunu ifade eder. (1.18) no.lu bağıntıdaki terim ise, S yüzeyinden geçen toplam elektrik akısının zamanla değişimini, yani deplasman akımını göstermektedir. (1.15) no.lu bağıntıda akım yoğunluğu ile ifade edilen I akımı, fiziksel olarak çok değişik şekillerde ortaya çıkabilir. Şekil (1.5)’de gösterildiği gibi c eğrisi üzerinde gösterilen yönde vidanın ilerleme yönü, I akımının yönün tayin eder.
Şekil 1.5. Kapalı eğriden geçen net I akımına örnekler
(a) I=I1, (b) I= I1+I2, (c) I1= 0, (d) I = N.I1, (e) I=
Gauss Kanunu kapalı bir S yüzeyden geçen vektör akısının bu kapalı, S yüzeyinin çevrelemiş olduğu v hacmi içerisinde kalan net yükle eşit olduğunu ifade eder. Bu net yük, denklem (1.4) ile verilen yüke eşittir.
Q = v dv
net akısı dışa doğru yani n vektörü yönünde ise Q yükü pozitif, net akım içe doğru ise Q yükü negatif değerlidir.
Maxwell denklemlerinin integral formu, uzayın belirli bir bölgesini tanımladığı için problem çözümlerinde kullanım alanlı sınırlı olup küresel, silindirik veya bir boyutlu dik kartezyen simetrili özel problemlerde kullanılabilir. Bu nedenle uzayın herhangi bir noktasında ve anında alan denklemleri arasındaki ilişkileri, Maxwell denklemlerinin diferansiyel formunu yazarak daha genel bir şekilde ifade edebiliriz. Maxwell denklemlerinin diferansiyel formu:
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
Deneysel sonuçlara dayanarak büyüklükleri
(1.25)
(1.26)
(1.27)
şeklinde ifade edilir. Burada orantı sabitleri olan , , büyüklükleri, ortam parametreleri olarak bilinir ve sırasıyla; ortamın dielektrik sabiti, magnetik geçirgenliği ve iletkenliği olarak adlandırılır. Havanın dielektrik ve magnetik geçirgenliği yaklaşık olarak boşluğunkine eşit ve 0 ve µ0 olarak gösterilir. Boşluğun iletkenliği sıfırdır.
1.5.1. Akım Çeşitleri
Bir yük akışı olan herhangi bir akım kaynağına göre; Konveksiyon akımı, iletim akımı ve polarizasyon akımı olarak üç kategoriye ayrılır.
1. Konveksiyon Akımı: Elektromagnetik etki altında hareket eden atmosferdeki iyonize ortamda olduğu gibi serbest yüklerin bir dış kaynak tarafından hareket ettirilmesiyle oluşur. Radyo dalgaları, zamanla değişen elektromagnetik alanlar olup, sonlu miktarda enerji taşır. Lorentz kanuna göre;
(1.28)
kuvveti uygular. Mekanik kuvvet ise;
(1.29)
ile ifade edilir. Bu kuvvetler birbirini dengelerler. Buna göre;
(1.30)
olur. Bu bağıntı pozitif yüklü iyonlar veya negatif yüklü elektronlar için geçerlidir. Herhangi bir noktadaki Konveksiyon akım yoğunluğu;
(1.31)
olarak ifade edilir. Bu bağıntı Konveksiyon akımının, yük yoğunluğu ve bu yük yoğunluğunun bir noktada sahip olduğu hız cinsinden ifade edileceğinin gösterir.
2. İletim Akımı: İletken malzeme, bir dış elektromagnetik alan etkisi altında hareket eden serbest yüklere sahip ortamlar olarak tanımlanır. Yük hareketi,diğer yüklerle etkileşim aralığını oluşturan kısa bir mesafede gerçekleşir. Bu nedenle yük hareketi bir göçten ibarettir. Bu net yük göçüne iletim akımı denir. Elektronların ortalama sürüklenme hızı;
(1.32)
ile gösterilir. İletkenin birim kesitindeki akış yoğunluğu;
(1.33)
olur. Bu son iki bağıntı karşılaştırılırsa;
= Ne µd (1.34)
bulunur.
3. Polarizasyon Akımı: Konveksiyon ve iletim akımlarının serbest yüklerin hareketinden kaynaklanmasına karşın polarizasyon akımı, tam tersine bağlı yüklerin hareketine dayanır. Saf dielektrik bir malzemede elektronlar, kuvvetli atomik bağlarla atomlarına bağlı olup, bu bağın kopması yani iletkenler gibi serbest elektron hareketinin başlayabilmesi için, bu elektronların şiddetli elektrik alanına maruz kalmaları gerekir. Ayrıca hiçbir dielektrik malzeme, mükemmel dielektrik özelliği gösteremez. Polarizasyon akımı, daha öncesi akımlara benzer şekilde,
(1.35)
denklemi ile ifade edilir. Maxwell denklemlerinde bu polarizasyon akımı a / at olarak ifade edilir.
1.5.2 Sınır Şartları
Uzayın farklı özelliklere sahip ortamlardan oluşması durumunda alanları bu ortamlara ayıran ara kesit yüzeylerinde sürekli olmayabilirler. Alan vektörlerinin ortamların süreksizlik yüzeylerindeki davranışı sınır şartları olarak isimlendirilir.
Şekil 1.6’da S yüzeyi 1 ve 2 ortamlarını sınır yüzeyi olan ve bu yüzeye dağılmış yüklerden kaynaklanan bir akımın varolabileceğini varsayalım. Bu durumda akım, hacim yerine bir yüzey akımı biçiminde, iletken tabakanın en dışındaki ince bir tabakadan akar.
Şekil 1.6 İki farklı ortamın ara kesitinde alan vektörleri (a) ve nın teğetsel bileşenleri. (b) nin dik bileşenleri
Birinci Maxwell bağıntısını Şekil 1.6 için uygulayalım.C0 tarafından çevrelenen kapalı yüzey S0 ise ;
(1.36)
yazılır. C0 çevresi p noktası civarında gittikçe küçültülürse, S0 limit durumunda sıfıra gider ve sağ taraf sıfır olur. Denklem (1.36) dan
(1,37)
bulunur. Buradan da;
(1.38)
veya
(1.39)
bulunur. Bu son bağıntı ara kesit yüzeyinde ki elektrik alanının teğetsel bileşeninin sürekli olduğunu ifade eder. Benzer bir yaklaşım, sınır yüzeyinde nın teğetsel bileşeni içerisinde uygulanabilir. Bunun için 2. Maxwell bağıntısı;
(1.40)
şeklinde ifade edilir ve limit durumu incelenirse,
(1.41)
elde edilir. S0 yüzeyine dik düzlem üzerideki yüzeysel akımın nin teğetsel bileşeni ile ilişkisi;
(1.42)
olarak bulunur. Denklem (1.42) K ‘nın yönünün,süreksizlik yüzeyinde ki magnetik alan şiddetinin yönüne bağlı olduğunu ortaya çıkarır.
Elektromagnetik alanların, farklı elektriksel özellikli bir ortamdan diğer ortama geçişinde, sınır şartları olarak isimlendirilen aşağıdaki 4 bağıntı geçerlidir.
(1.43)
Bu ve bundan önceki bağıntılarda, daha önce hacimsel akım dağılımını gösteren (A/m²) ile, yüzeysel akım yoğunluğunu ayırmak amacıyla yüzeysel akım yoğunluğu için K sembolünü, metre başına amper birimi ile “çizgisel akım yoğunluğu” isimliyle kullanılmıştır.
1.5.3 Yük Korunumu
Yük korunumu Maxwell denklemlerinden faydalanarak incelenir. Bunun için
(1.44)
(1.45)
denklemlerinden ilkinin diverjansını alıp,
ve denklem (1.45)’i kullanırsak
ve buradan
(1.46)
bulunur. Kapalı bir S yüzeyi üzerinden integralini alırsak,
(1.47)
elde edilir. Burada diverjans teoreminden faydalanılarak, soldaki ilk terim yüzeysel integrale dönüştürülebilir.
(1.48)
Ve
Q = v dv (1.49)
yerleştirerek,
(1.50)
bulunur. Yük korunumunu ifade eden bu denkleme süreklilik bağıntısının integral formu denir.
